Concours général de mathématiques 2012

[Plussoyeur]

Bonjour

Je voulais savoir vos réactions à chaud pour cette session 2012...
Personnellement je l'ai trouvé beaucoup plus abordable que les sujets des années passées!

Bonne soirée
-----

[invite4effadc8]

Je l'ai aussi trouvé plus "facile" que les sujets des autres années. En ce qui me concerne j'ai fait tout l'exercice 1. Je pense d'ailleurs m'être trompé à la question 5) b) et c). Etant déjà fatigué par l'exercice 1 (environ 3h30) j'ai fait l'exercice 3 "à l'arrache" (meme pas calculé l'esperance de distance, je voyait pas comment faire), quand à l'exercice 2, je ne l'ai pas cherché, c'était le plus dur des 3 exercices.
Bref je ne m'attend pas à un classement fameux

[Plussoyeur]

Idem! Plus facile que les années passées (j'ai compris le sujet sans soucis ^^). J'ai dû faire 80%-90% du 1 et tout l'exercice 3 (bien que je ne sois pas tout à fait sûr pour l'espérance :/). Par contre pas touché à l'exercice 2 (donc mort aussi pour un classement enfin c'était mort avant de commencer donc)... dommage mais bon il faut bien différencier les meilleurs (il faut bien qu'il y en ait aussi ^^).

[invite579c25f7]

N'ayant jamais été confronté à un tel type d'exercices, il m'a parut infaisable.

Ou/quand aura-t-on le corrigé?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebcff552d]

Bonjour à tous.
Oui, sans véritable préparation, ce n'est pas évident...mais d'ailleurs ces fameux sujets, pourrait-on les voir?
Merci.

[Plussoyeur]

Aucune idée... Disons que ça fait réfléchir. Mais étant en maths spé, y'avait aucune notion que je ne connaissais pas (contrairement aux précédents CG) donc du coup en 5 heures ça permet de trouver quelques trucs.

[invite4effadc8]

Oui c'est sur il faut distinguer les meilleurs. L'essentiel c'est de participer
le sujet :
http://www.play-files.net/images/133...7-Image-15.jpg
http://www.play-files.net/images/133...6-Image-16.jpg

[Plussoyeur]

There it is

cg maths 20120001.jpg cg maths 20120002.jpg

EDIT : deux pour le prix de un... Si quelqu'un pouvait donner des pistes pour le problème 2 d'ailleurs. J'ai essayé plein de choses comme définir une suite (vn) pour en déduire la limite ou utiliser l'adjacence... Enfin pas mal de choses mais aucune n'ont abouti. Donc je suis preneur de toutes pistes.

[invite467bd4bf]

Bonjour a tous.

Pour ma part, quelques questions m'ont posé de gros problèmes comme :
- Montrer que pour tout :
- le calcul de l'espérance
- bien sur, l'exercice 2..

pour cet exo mon prof a (peut etre) trouvé une piste : montrer que ou un truc du genre... Il était vraiment lourd celui la.

Sinon c'est vrai que l'exo 1 était relativement facile comparé aux exos du CG des années précédentes!

Pour l'exo 3 vous avez fait plein de démo par récurrence (ou autres démo diverses) ou vous avez balancé les réponses a peu près à l'arrache comme moi?

[inviteff1f1a36]

Bonsoir =)
J'ai peut-être une petite idée:
Pour rappel on définit la suite U(n) telle que U(0)=1 et qu'au moins la moitié des termes d'indice inférieur à n soient supérieurs à 2U(n).
On peut dès lors tester:
Au rang 1: 2U(1)≤U(0) ce qui équivaut à U(1)≤1/2
Au rang 2: 2U(2)≤U(1) ou 2U(2)≤U(0) Ici il y a deux termes d'indice inférieurs qui valent respectivement 1 et 1/2.
On vérifie facilement (à cause de ce que l'on a vu sur U(1)) que la suite n'est pas croissante. Elle est donc soit décroissante soit non-monotone. On va donc chercher à la majorer rang après rang. Ainsi au rang 2 on va prendre le plus grand entre U(1) et U(2) pour faire "au plus grand". Donc on a que 2U(2)≤U(0) donc U(2)≤1/2
Au rang 3: 2U(3) est inférieur à au moins 1,5 termes précédents. 1 terme est impossible car c'est au moins la moitié des termes. Il faut donc que 2U(3) soit inférieur ou égal à deux termes précédents. Les termes précédents sont U(0)=1 U(2)≤1/2 U(2)≤1/2. Si on prend les plus grands d'entre eux, on a que forcément 2U(3)≤1/2 ce qui équivaut à U(3)≤1/4.
Je pense que l'on voit dès lors où cela mène. On a à intervalles régulières un facteur 1/2 qui apparaît. En fait il faut trouver la séquence qui fait que l'on fait ce "saut" de 1/2.

À partir de là je n'ai pu raisonner que par induction (mais un induction logique tout de même ^^).
On a d'après ce que l'on a vu ci-dessus que:
U(0)=1
U(1)=1/2
U(2)≤1/2
U(3)≤1/4
U(4)≤1/4
U(5)≤1/4
U(6)≤1/4
U(7)≤1/8
...
U(13)≤1/16
...
U(25)≤1/32
...
U(49)≤1/64
...
U(97)≤1/128
.......................
On voit bien à intervalles régulières la suite géométrique de raison 1/2.
Ainsi on constate que si un saut a lieu au rang n; alors un autre aura lieu au rang 2n-1 en tous cas pour n≥7. (C'est là que la rigueur vient à manquer, mais cela s'expliquant bien avec l'histoire des "moitiés" de la liste des termes inférieurs ce devrait être acceptable...)
Donc U(2n-1)=U(n)/2
On remarque un truc de la forme U(n+1)=U(n)/2, suite géométrique qui tend clairement vers 0.

N'hésitez pas à me signaler s'il y a des trucs bizarres ou faux...
Bonne soirée =)

[invite6d668ccf]

bonsoir/bonjour j'ai trouvé le concours général de cette année assez facile par rapport aux années précédentes. Néanmoins je n'ai fait que une partie du 1) ( j'ai laissé les 4 dernières questions ) pour la 2) j'ai ma technique assez farfelue et la 3) je pense avoir réussi mais pas sur. Globalement j'ai plutôt moyennement réussi mais je pense pas être sur le podium.
ma technique pour la 2)
on sait que Uo=1 et Un suite de termes réel positif. tel que la moitié des termes sont supérieur à 2Un.
Or on a U (n-1)/2 (avec (n-1)/2 étant un rang) donc tous les nombres compris entre Uo et U(n-1)/2 sont supérieurs ou égaux à 2Un.
Donc Uo>2Un, U1>2Un,...........U(n-1)/2>2Un. Donc la somme de tout les termes entre Uo et U(n-1)/2 est supérieur à 2Un(n-1)/2, on simplifie par 2, on passe de l'autre côté (n-1) et on étudie cela. on a maximisé la suite donc maintenant il faudrait montrer que ce qui est à droite tend vers O or la somme de terme fini est divisé par (n-1) avec n étant une variable donc lim de tout cela est égal à 0 et donc Un tend vers 0. voilou voilà si vous avez des questions ou des suggestions n'hesitez pas

[inviteff1f1a36]

Salut,
Je n'ai pas bien compris pourquoi tu utilises la somme des termes entre u(0) et U((n-1)/2)...

[invite6d668ccf]

pour avoir Un tout seul d'un coté et ainsi la majoré (plutôt) ^^. Et entre Uo et U(n-1)/2 car il y est dit que la moitié des termes sont supérieurs à 2Un.

[invite9ca08c49]

Aux vues de vos propositions pour l'exercice 2, je me rends compte que je n'ai peut-être pas fait ce qui était attendu :
J'ai raisonné en expliquant que U(n) ne peut tendre ni vers une limite finie (à partir d'un certain n, il n'y a plus de termes >2U(n)), ni vers +∞, ni ne pas avoir de limite du tout (U(n) qui peut être supérieur au maximum/2).
Ce qui revient à dire qu'elle ne peut que tendre vers 0. C'est un peu troll comme solution, mais ça m'a l'air viable.

Sinon, c'est la 4)a du problème 1 qui m'a le plus énervé : "Pour a>2 et b>0, montrer que (a^b)>ab".
J'ai montré que ça passe pour b=0 et b=1, puis j'ai disjoncté (disjonction des cas ^^), en développant les cas de a>b, a=b puis b>a (même si je n'ai pas fini celui-la).
Est-ce que quelqu'un a trouvé comme moi b * ln(a) > ln(a)+ln(b) soit (b-1)ln(a)>ln(b) ?

[invite6d668ccf]

Escogryphe tu dois montrer que Un tends vers 0

[invite9ca08c49]

@angelblacks

C'est ce que j'ai dit, de manière détournée : "Ce qui revient à dire qu'elle ne peut que tendre vers 0."
Je sais que ça n'est pas mathématiquement correct, mais c'est tout ce que j'ai daigné répondre.

Sinon je repense à l'exercice 1, la question 5 : je ne vois toujours pas le rapport entre a = 2α + 3β, et ce qu'on doit en déduire, à savoir l'histoire avec l'ensemble E. Quelqu'un aurait une idée ?

Et comme je le dis, ce sujet n'est pas "plus facile" que ceux des années précédentes, il est "plus accessible", dans le sens où il ne requiert pas (à ma connaissance) de savoirs particulièrement développés, mais plutôt un raisonnement logique plus poussé, et donc paraît moins complexe qu'il n'en a l'air.

[invite6d668ccf]

tout à fait d'accord avec toi quant à l'accessibilité du sujet. dsl je n'avais pas bien suivi ta démo. pour cette question j'ai pas repondu mais une fois sorti de la salle j'ai eu un éclair fin' je pense; Tout nombre est pair ou impair donc apres si a pair alors beta=0, si a impair alors alpha=0 si a n'est ni divisible par 2 ni divisible par 3 alors il peut s'écrire sous la forme de : 2alpha+3beta je crois que c'était ça apres je sais même pas si ça tient la route.

[invitec98ba326]

Bonjour,
J'ai aussi passe le concours aujourd'hui et je l'ai trouve abordable.
Je n'ai pas reussi la 4 du probleme 3 et j'ai passer un temps fou sur la question 3-b du troisieme probleme,
si quelqu'un a reussi la 4, j'aimerais bien connaitre la solution.

Pour le probleme 2, je ne pense pas que je l'ai demontrer correctement mais j'ai raisonner de la facon suivante:
Pour n=1, u(0) > 2u(1)
Pour n=2, u(0) > 2u(2) ou u(1) > 2u(2)
Pour n=3, deux des trois inegalites suivantes sont juste:
u(0) > 2u(3) ; u(1) > 2u(3) ; u(2) > 2u(3)
c'est a dire que FORCEMENT: u(1) > 2u(3) ou u(2) > 2u(3)
Ainsi u(3) a pour majorant minimum u(1) ou u(2) et non plus u(0)
Generalisation: On peut ansi donc "abaisser" le majorant minimum de u(n) au fur et a mesure que n augmente
exemple: pour n=100, u(50) ou un u(n) avec n > 50 sera le majorant de u(100) qui lui meme sera majoree par un u(n) avec n plus petit
On peut en conclure que u(n) tend vers 0 quand n tend vers l'infini,

Je pense que la demonstration se faisait par recurrance.

[invitec98ba326]

@angelblacks
moi j'ai fais sa pour a pair et pour a impair
a=2alpha+3beta
a=2(aplha+beta)+beta
ce qui est la definition d'un nombre impair a=2k+1
avec beta=1

[inviteff1f1a36]

Donc la somme de tout les termes entre Uo et U(n-1)/2 est supérieur à 2Un(n-1)/2, on simplifie par 2, on passe de l'autre côté (n-1) et on étudie cela. on a maximisé la suite donc maintenant il faudrait montrer que ce qui est à droite tend vers O or la somme de terme fini est divisé par (n-1) avec n étant une variable donc lim de tout cela est égal à 0 et donc Un tend vers 0.

Je dois avouer que là j'ai toujours du mal à saisir en quoi une somme intervient; pourquoi ne pas simplement se servir du fait que 2U(n)≤U((n-1)/2)? Cela suffit pour majorer la suite au rang n non?

[invite6d668ccf]

"Ainsi u(3) a pour majorant minimum u(1) ou u(2) et non plus u(0)" --> J e comprends pas pourquoi tu peut m'éclairer?

[invite6d668ccf]

obertran94 oui mais après comment tu prouves que (U(n-1)/2)/2 tends vers 0? là est le problème et puis la somme est venue comme une évidence ouisque cela me permettait de majorer Un et de l'étudier.

[invite357f75ad]

J'ai aussi trouvé le sujet beaucoup plus abordable que les années précédentes. Moi qui d'habitude ne faisait qu'une fraction insignifiante des exercices...

Le 1 était plutôt facile, la seule question qui m'a posé problème est la 4-c : prouver que f(f(n)<=n. Quelqu'un aurait-il une idée ?

Le 3 était vraiment le plus dur, je crois que je n'ai pu apporter de justification pour aucune question. M'enfin bref...

Par contre le 2 m'a paru plutôt simple. Tout le monde a l'air de penser que c'était le plus dur des exos, du coup ça me fait douter de ma réponse.


Ma réponse pour le 2 :

En gros on introduit la suite (v(n)) définit pas {v(1)=3 , v(n+1)=2*v(n) + 2}
Puis on trouve la formule explicite de cette suite, c'était un truc du genre v(n)=5*2^(n-1)-2, je ne sais plus exactement.
Ensuite, on prouvait par récurrence que : pour tout p>0 , pour tout n tel que v(p)<=n<=v(p+1)-1 , u(n)<=1/2^(p+1)
Une fois que c'était fait, la limite était presque immédiate : lim u(n) = 0.

[inviteff1f1a36]

@ angelblacks
Il s'agit, je pense, plutôt d'un majorant maximum qui est U(1) ou u(2) car on est forcé de prendre 2 termes d'indice inférieur à 3 et ainsi on est forcé de prendre un terme qui est inférieur ou égal à 1/2 car si on prend 2 termes entre U(0) et U(2) on est forcé de prendre un 1/2. Et donc le minimum que l'on soit obligé de prendre sera le majorant max.

[invite6d668ccf]

ok j'avais compris mais j'ai pas pu edit. je l'avais pas vu sous cet angle

[inviteff1f1a36]

oui mais après comment tu prouves que (U(n-1)/2)/2 tends vers 0? là est le problème et puis la somme est venue comme une évidence ouisque cela me permettait de majorer Un et de l'étudier.

Bah on a le signe ≤ donc supposons que ce soit égal (si c'est inférieur c'est encore plus évident).
On a donc U((n-1)/2)=2U(n) ce qui équivaut à U(n)=(U((n-1)/2))/2 or (n-1)/2<n donc lorque l'on avance globalement dans la suite on divise par 2 ce qui correspond à une suite géométrique de raison 1/2 qui tend clairement vers 0...

[Plussoyeur]

Or on a U (n-1)/2 (avec (n-1)/2 étant un rang) donc tous les nombres compris entre Uo et U(n-1)/2 sont supérieurs ou égaux à 2Un.

Là où je ne comprends pas c'est que tu ne sais pas où se trouve la moitié des termes. Je ne vois pas comment tu peux affirmer que ce sont ceux compris entre uo et u(n-1)/2.

Sinon la démarche d'obertand me paraît clair et assez bien bâtie.

[inviteff1f1a36]

Là où je ne comprends pas c'est que tu ne sais pas où se trouve la moitié des termes. Je ne vois pas comment tu peux affirmer que ce sont ceux compris entre uo et u(n-1)/2.

J'aurais tendance à dire que en gros on prend le terme du milieu U(n/2) et que si n est impair on prend celui d'après (car il s'agit d'au moins la moitié)...)

[Plussoyeur]

tout à fait d'accord avec toi quant à l'accessibilité du sujet. dsl je n'avais pas bien suivi ta démo. pour cette question j'ai pas repondu mais une fois sorti de la salle j'ai eu un éclair fin' je pense; Tout nombre est pair ou impair donc apres si a pair alors beta=0, si a impair alors alpha=0 si a n'est ni divisible par 2 ni divisible par 3 alors il peut s'écrire sous la forme de : 2alpha+3beta je crois que c'était ça apres je sais même pas si ça tient la route.

Ou alors on utilise Bézout : PGCD(2;3)=1 donc il existe un couple d'entiers relatifs tels que 2u+3v=1. Donc 2au+3av=a où au=alpha et av=béta. Voilà

[Plussoyeur]

J'aurais tendance à dire que en gros on prend le terme du milieu U(n/2) et que si n est impair on prend celui d'après (car il s'agit d'au moins la moitié)...)

Je suis tordu... mais pour moi la moitié c'est juste n/2 des termes. Donc ça peut être u0,u1,u2,un-2,un-1 enfin juste la moitié des nombres mais par forcément consécutifs.