Exercice - Variation d'une fonction - Niveau 2nd

[invite8de280e2]

Bonjour, bonsoir.

J'ai besoin d'un coup de pouce... Mon professeur de mathématique nous a donné un exercice à faire. Il est plus ou moins complexe. J'ai réussi à faire quelques sous questions mais certains me posent problème. Je vais d'bord vous écrire l'exercice, ensuite j'écrirai ce que j'ai trouvé.

[AB] est un segment de longueur 8 cm et C est un demi-cercle de diamètre [AB]. Soit M un point de [AB]. La perpendiculaire à (AB) en M coupe C en un point P. On pose AM=x.

1)a) Faire la figure.
b) Dans quelle intervalle varie x ?

2)a) Établir une relation en AP², x et MP².
b) Démontrer que BP²=(8-x)²+MP²
c) En utilisant le triangle ABP et les deux questions précédentes, démontrer que MP=sqrt(x(8-x))

3) On désigne par f(x) l'aire, en cm² du triangle MAP.
a) Exprimer f(x) en fonction de x.
b) Développer (x+2)²+8 puis déterminer le signe de cette expression.
c) Développer (x-6)²(x²+4x+12) puis déterminer le signe de cette expression.
d) Démontrer que f admet un maximum en 6.

NB : À un moment, j'ai écris sqrt(...). Ceci signifie "racine carrée de" pour ceux qui ne le savent pas.

Maintenant, voici ce que j'ai trouvé :

1)a) Vous n'avez pas besoin de m'aider pour celle-ci.
b) Je pense que x varie sur [0;8]. Est-ce bien ça ?

2) a) Au départ, je pensais au théorème de Pythagore qui conclue AP²=x²+MP². Mais je me suis ensuite rendu compte que x n'est pas au carré. Alors que faire ?
b) On sait que AB=8 cm et AM=x. Alors, BM=8-x. (Au fait, dois-je mettre les crochets ainsi que l'unité cm ?)
D'après le théorème de Pythagore, on a :
BP²=BM²+MP²
BP²=(8-x)²+MP²
c) Sans la réponse du a) je ne pense pas pouvoir le faire. Cependant, je sais que le triangle ABP est restagle en P car [AB] est le diamètre d'un demi-cercle et que P est un point de ce demi-cercle.

3)a) f(x)=(MA+MP)/2
f(x)=(x+sqrt(x(8-x)))/2
Par contre, là, je n'arrive plus à avance. Ai-je pris le bon chemin ?
b) (x+2)²+8=x²+2*2x+2²+8
(x+2)²+8=x²+4x+12
∀x∈ℝ on a (x+2)²≥0
∀x∈ℝ on a (x+2)²+8≥0+8
∀x∈ℝ on a (x+2)²+8≥8
Cette expression est donc de signe positif.
c)(x-6)²(x²+4x+12)=(x-6²)((x+2)²+8)
Le problème, c'est que j'ai factorisé et non développé. C'est complexe de développer (a-b)²(cx²+dx+e), je risquerai d'avoir des confusions même avec une IR.
Sinon, je peux tout de même déterminer le signe :
∀x∈ℝ on a (x+2)²+8≥8
∀x∈ℝ on a (x-6)²≥0
∀x∈ℝ on a (x-6)²((x+2)²+8)≥0
Cette expression est donc de signe positif.
d) J'ai besoin de la 3)a) car les expressions proposées en 3)b) et 3)c) admettent 6 en minimum et pas en maximum.

Je sais que c'est long mais j'aimerai dire merci d'avance à ceux qui m'aideront. Peut-être personne ... ?
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[algerik]

Pour la 2a ca ne pose aucun pb puiqu'il suffit de faire
x=(racine de)AP²-MP²

[PlaneteF]

Bonsoir,
Bravo pour cette présentation très détaillée, ... et tu as fait l'essentiel

b) Je pense que x varie sur [0;8]. Est-ce bien ça ?

Oui

2) a) Au départ, je pensais au théorème de Pythagore qui conclue AP²=x²+MP². Mais je me suis ensuite rendu compte que x n'est pas au carré. Alors que faire ?

Tu peux garder ce résultat, x² est bien fonction de x, et c'est cette forme là que tu dois utiliser ensuite pour la question 2c).

Au fait, dois-je mettre les crochets ainsi que l'unité cm ?

Non, ce n'est pas nécessaire, l'unité est implicite.

Cependant, je sais que le triangle ABP est restagle en P car [AB] est le diamètre d'un demi-cercle et que P est un point de ce demi-cercle.

Exactement, et donc tu peux utiliser le théorème de Pythagore pour trouver le résultat voulu.

3)a) f(x)=(MA+MP)/2
f(x)=(x+sqrt(x(8-x)))/2
Par contre, là, je n'arrive plus à avance. Ai-je pris le bon chemin ?

Attention c'est (MAxMP)/2 et tu as tout de suite le bon résultat.

C'est complexe de développer (a-b)²(cx²+dx+e)

Non, ce n'est pas compliqué, il faut juste y aller, c'est 3 lignes de calcul, pas plus ...
... et en plus tu n'as pas le choix, tu dois passer par là pour trouver la dernière question ... tu verras, les x² et x disparaissent, et tu auras une expression très proche de f(x) !

[PlaneteF]

Tu peux garder ce résultat, x² est bien fonction de x, et c'est cette forme là que tu dois utiliser ensuite pour la question 2c).

Je rajoute cette petite précision : Comme le suggère algerik, pour "coller exactement à l'énoncé", tu peux écrire (forme inutile pour la suite du problème).

Par contre, tu utiliseras directement pour trouver la question 2c)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8de280e2]

Je vous remercie pour ces réponses. Cela m'a permit d'avancer et je sens que je m'approche des réponses à cherchées dans certaines sous questions. Merci !

[invite8de280e2]

Double-post, désolé, je ne parviens pas à éditer mon dernier post ! Je m'excuse donc pour ceci.

Actuellement, même si j'avance petit à petit, le 2)c et 3)c) me tracassent.

2)c) En remplacement les expressions grâce aux réponses précédents, j'obtiens :
x²+MP²+(8-x)²+MP²=8-x
x²+MP²+64-16x+x²+MP²=8-x
2x²+2MP²+64-16x=8-x
2MP²=8-x-2x²-64+16x
2MP²=-2x²+15x-56
MP²=-x²+(15/2)x-28
MP=sqrt((-x)²+(15/2)x-28)

À partir de là, je bloque. J'ai tenté avec des IR mais impossible car on a -28. De plus, j'ai tapé ce résultat plus celui qu'on est censé y arrivé dans ma calculatrice, et là je vois que les deux courbes sont totalement différentes.

3)c) En développant (x-6)²(x²+4x+12), je suis tombé sur x^4-8x^3+432 et je ne parviens plus à développer grâce à mes connaissances. En vérifiant les courbes tracées dans la calculatrice, mon résultat s'avère correct. Pourtant je ne sais pas si je dois m'arrêter là.

Quelqu'un aurait-il au moins une ou des pistes à me donner, s.v.p. ?

[PlaneteF]

2)c) En remplacement les expressions grâce aux réponses précédents, j'obtiens :
x²+MP²+(8-x)²+MP²=8-x

Attention, ton 2^e membre est faux. En appliquant le théorème de Pythagore, ce 2^e membre = AB², donc ce n'est pas (8-x) mais 8² (=64).

A partir de là tu trouveras facilement le résultat voulu.

3)c) En développant (x-6)²(x²+4x+12), je suis tombé sur x^4-8x^3+432 et je ne parviens plus à développer grâce à mes connaissances. En vérifiant les courbes tracées dans la calculatrice, mon résultat s'avère correct. Pourtant je ne sais pas si je dois m'arrêter là.

Oui ton résultat est correct et c'est quasi-terminé si tu remarques que :



et




Tu vois donc apparaître dans les 2 équations, ... je te laisse conclure

[invite8de280e2]

Mais oui ! Je savais bien que quelque chose clochait pour la 2)c). En fait, je savais qu'il fallait procéder ainsi mais c'était une simple maladresse et malheureusement ça m'arrive plusieurs fois... De plus, j'ai confondu [AB] et [BM] lorsque je remplaçais les expressions. Merci d'avoir fait la remarque.

Pour la 3)c), je vois bien la coïncidence. Cependant, x^4-8x^3 n'est pas égal à 8x^3-x^4 mais je conclue qu'il sont opposés l'un de l'autre et que quelque chose se cache derrière. Si tu dis que je peux conclure, j'y réfléchirai mais là, il se fait tard !

Bonne nuit et encore merci.