Bonjour, j'ai un DM à faire pour la rentrée et j'ai qq questions qui me posent problème.
Voila l'énoncé:
Le but du problème est l'étude de la fonction f définie sur l'intervalle ]0;+ infini[ par f(x)= Ln(exp(2x) -1) / exp(x)
Partie A :
1) on définit la fonction g par g(x)= 2x- (x-1)Ln(x-1) sur ]1;+ infini[.
a) Déterminer la limite de g lorsque x tend vers 1.
J'AI REUSSI
b) Calculer g'(x) sur ]1;+ infini[
J'AI REUSSI
c) Résoudre sur le même intervalle l'inéquation 1-Ln(x-1) >0
J'AI REUSSI
d) Etudier le sens de variation de g sur le même intervalle.
J'AI REUSSI
e) Démontrer que l'équation g(x)=0 a une solution unique notée a dans l'intervalle [e+1;e^3 +1] et étudier le signe de g(x) sur ]1; a[ et ]a;+ infini[
J'AI REUSSI
2) h est la fonction définie sur ]1;+ infini[ par h(x)= Ln(x²-1) / x
a) Etudier la limite de h en 1 et en + infini.
J'AI REUSSI
b) Calculer h'(x) et montrer que h' est du signe de g(x²) sur ]1;+ infini[
JE N'Y ARRIVE PAS
c) Démontrer que h est croissante sur ]1; racine de a[ et décroissante sur ] racine de a; + infini[
JE N'Y ARRIVE PAS
Partie B :
1) Vérifier que pour tout x appartenant à ]0;+ infini[, f(x)= h(exp(x))
J'AI REUSSI
2) En déduire :
a) La limite de f lorsque x tend vers 0
J'AI REUSSI
b) La limite de f lorsque x tend vers + infini
J'AI REUSSI
c) le sens de variation de f sur ]0;+ infini[ et le fait que f admet un maximum en Ln(racine de a)
JE N'Y ARRIVE PAS
3) Montrer que le maximum de f sur ]0;+ infini[ vaut 2racine de a / a-1
JE N'Y ARRIVE PAS
Merci d'avance de m'aider.
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