Devoir maison de mathématiques

[invite4bdb48bd]

Bonjour à tous
j'ai un devoir maison et un exercice me pose problème, voila l'énoncé :

sur son trajet habituel domicile-lieu de travail, une automobiliste rencontre deux feux tricolores.
On a pu évaluer qu'elle a :

une chance sur trois d'être arrêtée au premier feu
cinq chance sur douze d'être arrêtée au second feu
une chance sur trois de passer les deux feux sans s'arrêter.

La durée du trajet si les feux sont au vert est de 9 minutes. Chaque arrêt à un feu la pénalise de 1,5 minute.
Quelle est la durée moyenne du trajet ?

Je trouve p(X=9)=7/18, P(X=10.5)=17/36 et pour P(X=12)=5/36 ensuite je calcule l'espérance et je trouve 10,125
Le problème est que je trouve mais résultat vraiment très bizarre
Je vous remercie d'avance.
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[invite4bdb48bd]

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait car c'est assez urgent?
Merci d'avance

[zyket]

Es-tu absolument sûr de l'énoncé ?

N'y aurait-il pas une proposition du style "cinq chance sur douze d'être arrêtée au second feu sachant ......" ?

[zyket]

J'ai rien dit, l'énoncé permet bien de s'en sortir

[A voir en vidéo sur Futura]

[zyket]

Pourquoi p(X=9)=7/18 ?

L'énoncé dit que la proba d'effectuer le trajet sans s'arrêter (donc en 9mn) est de 1/3, je dirais donc que p(X=9)=1/3, non ?

[invite4bdb48bd]

En fait j'ai pris la probabilité que le premier feu soit vert et la probailité que le deuxième feu soit vert. Mais la réponse que tu donnes à l'air plus cohérente avec l'énoncé mais après je ne vois pas comment faire.

[zyket]

Essaye de construire l'arbre de probabilité en notant, par exemple, R_1 l’événement ''le premier feu est rouge'' ; V_1 "le premier feu est vert"; R_2 "le deuxième feu est rouge" et V_2 "le deuxième feu est vert". Il y a des branches dont l'énoncé donne immédiatement la probabilité mais les proba de beaucoup de branches de cet arbre ne sont pas immédiatement accessibles. A toi de le remplir au fur et à mesure de calculs de probabilités.

[invite4bdb48bd]

J'ai déjà essayé de le faire mais je trouve des choses totalement incohérente

[zyket]

Avec mes notations et l'énoncé on va construire pas à pas cet arbre de proba.

Cet arbre commence par deux branches une branche menant à R1 et une branche menant à V1. D'accord ? Y a-t-il déjà là des données de l'énoncé que tu peux placer sur cet arbre ?

[invite4bdb48bd]

oui une chance sur trois d'être arrêté

[zyket]

Très bien cette proba se place sur la branche menant à R1. On peut écrire que la probabilité, p(R1), d'être arrêter au premier feu est p(R1)=1/3

Quel est la proba de la branche menant à V1 ?

[invite4bdb48bd]

la proba de la branche menant à V1 est 2/3 non?

[zyket]

En effet car l'événement V1 est l'événement contraire de R1. On a que deux choix possibles soit le feu est vert V1; soit le feu est rouge ou orange et l'automobiliste est arrêtée R1. Donc la somme de ces deux proba vaut 1.

Ensuite construisons les autres branches : à partir de R1 on trace deux branches :
- une menant à R2 , "le deuxième est rouge (ou orange)" et l'automobiliste s'arrête.
- une branche menant à V2, "le deuxième feu est vert" et l'automobiliste passe.

à partir de V1 on fait le même travail

Il y-a-t-il des branches dont l'énoncé donne les proba ?

[invite4bdb48bd]

cinq chance sur douze d'être arrêtée au second feu non ? C'est pour R2

[zyket]

cinq chance sur douze d'être arrêtée au second feu non ? C'est pour R2

Et non, c'est là qu'est le piège ! (que je n'avais pas tout de suite vu rassure toi)

Ton arbre ne propose pas de branche allant directement à R2. Pour arriver à R2 :
- soit tu passes par les branches R1 puis R2
- soit tu passes par la branche V1 puis R2

L'énoncé ne donne pas la proba de R2 sachant R1, ni la proba de R2 sachant V1. Il va falloir ruser !

[invite4bdb48bd]

On sait qu'elle a une chance sur trois de passer les deux feux sans s'arrêter on peut donc en déduire V2 on a donc P(V2)=racine de3 /3 non?

[invite4bdb48bd]

on sait qu'elle a une chance sur trois de passer les deux feux sans s'arrêter donc P(V2)=racine de 3/3 non?

[pallas]

fais simplement un diagramme cartesien
2eime feu \ 1er feu Vert Rouge
Vert 1/3 3/12 ? = 7/12

Rouge 1/3 1/12 5/12
2/3 1/3 1

[invite4bdb48bd]

je ne comprends pas

[zyket]

P(V2)=racine de3 /3

Non.

Prend le temps d'observer ton arbre. Il y a des branches dont on connait les proba : la branche menant à V1 p(V1)=2/3 ; la branche menant à R1 p(R1)=1/3.

Mais on ne connait pas la proba de la branche menant de V1 à V2, ni celle menant de V1 à R2, encore moins celle menant de R1 à R2 et ni celle menant de R1 à V2

La branche menant de V1 à V2 correspond à un événement conditionnel. C'est l'événement V2 sachant V1 (on arrive à V2 en étant partit de V1)
Idem pour toutes les branches aboutissant à R2 ou V2. Ce sont tous des événements conditionnels.

Mais l'énoncé nous dit que on a une chance sur trois de ne pas être arrêter. Quel est le chemin qui correspond à cette proposition ?

[invite4bdb48bd]

on a une chance sur trois de ne pas être arrêter. le chemin qui correspond est V1,V2 donc P(V2)=1/2

[zyket]

P(V2)=1/2

pas tout à fait. 1/2 c'est la proba du chemin qui va de V1 à V2, c'est la proba de l"événement conditionnel : "V2 sachant V1" Comment écris-tu cela en signe mathématique ? (Ta réponse est juste mais mal écrite)

[invite4bdb48bd]

je ne sais pas

[zyket]

Généralement l'événement "V2 sachant V1" s'écrit v1 en indice devant V2, donc qui se lit probabilité de V2 sachant V1.

Pour plus de commodité (pour éviter de passer par la tex, l'utilitaire qui permet d'écrire de belles formules) dans ces posts on va écrire p(v1V2) la proba conditionnelle de V2 sachant V1 avec un v minuscule pour marquer sa mise en indice. OK ?

[invite4bdb48bd]

d'accord j'ai compris

[zyket]

Parfais tu viens de trouver la proba conditionnelle qui mène de V1 à V2, p(v1V2)=1/2

Quel est la proba conditionnelle qui mène de V1 à R2 qu'on va donc noter p(v1R2) ?

[invite4bdb48bd]

la proba conditionnelle qui mène de V1 à R2 que l'on note donc p(v1R2)= 1/2 puisqu'on fait 1-P(v1V2)

[invite4bdb48bd]

mais par contre comment fait-on pour trouver P(r1V2) et P(r1R2) ?

[zyket]

Super C'est le bon raisonnement

Récapitulons : on vient donc de pouvoir remplir quelques branches de notre arbre de proba. Il reste les branches R1 à R2 et celle de R1 à V2.

L'énoncé "5 chances sur 12 d'être arrêter au deuxième feu" va nous servir maintenant. Cette proba de 5/12 ne correspond à aucune branche de l'arbre.

Pour "être arrêter au deuxième feu" ou d'après notre arbre on peut dire pour arriver à R2, on a deux chemins possibles :
- le chemin qui prend la branche menant à R1 puis la branche menant à un premier R2
- le chemin qui prend la branche menant à V1 puis la branche menant au deuxième R2

Donc pour arriver à R2 il faut prendre le premier chemin ou le deuxième chemin. Donc la proba d'arriver à R2 c'est la proba du premier chemin + la proba du deuxième chemin.

Sais-tu calculer la proba du deuxième chemin celui qui prend la branche qui mène à V1 puis la branche qui mène au deuxième R2 ? Ce chemin c'est V1 et v1R2

[zyket]

Bonne nuit