Fonctions 1ère S

[invitec3d54b1a]

Salut tout le monde!

J'ai un problème avec un exercice sur la représentation graphique d'une fonction , il n 'y a que la dernière question que je n'arrive pas à résoudre.

Voici l'énoncé et les questions:

(O;i;j) est un repère orthonormé du plan , on considère la parabole P d'équation y=-2x²+8x.

1) Soit (u) la droite d'équation y=4x+p; déterminer p pour que la parabole P et la droite (u) aient un seul point commun.

2)Soit (v) la droite d'équation y=mx; déterminer m pour que la parabole P et la droite (v) aient un seul point commun.

3)On considère le point A(1;-2) et soit m un nombre réel. On appelle (dm) la droite passant par A et de coefficient directeur m.
a)Quelle est l'équation réduite de la droite (dm)?
b)Démontrer que toutes les droites (dm) coupent la parabole P en 2 points distincts.


Alors pour les questions 1) et 2) voici les réponses:

1) Pour qu'il y aie un seul point commun , il faut que
-2x²+8x=4x+p
-2x²+4x-p=0
Comme il ne faut qu'une solution , le discriminant doit être égal à 0.
Ensuite il faut résoudre cette équation ce qui donne p=2

2)Pareil , ça donne m=8

mais pour le 3) , je n'arrive pas du tout !!

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[nissart7831]

Bonsoir, comment écris-tu l'équation d'une droite de coefficient directeur m ? Comment traduis tu le fait qu'un point appartient à une droite ?

[invitec3d54b1a]

y=mx est l'équation de la droite (dm ) ?

Un point appartient à une droite <=> son ordonnée est l'image de son abscisse par l'équation de la droite ... c'est ça ?

[nissart7831]

L'&#233;quation d'une droite est plut&#244;t y=mx + q.

Les droites y=mx sont les droites qui passent par l'origine du rep&#232;re, sauf la droite x= 0.

Et l&#224; tu ne sais pas si ta droite passe par l'origine.
Et ensuite, comme tu dis, les coordonn&#233;es du point A v&#233;rifient l'&#233;quation de la droite.

Maintenant tu n'as plus qu'&#224; faire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3d54b1a]

Alors , il faut d'abord trouver q:

La droite passe par A(1;-2), donc
-2=m+b
b=2-m

L'équation est donc :
y=mx-2-m
y=m(x-1)-2

On ne peut pas réduire plus ?

Ensuite pour le b) il faut montrer que m(x-1)-2=2x²+8x ;je suppose ? mais la suite du calcul , je bloque ...

[nissart7831]

Je suppose que ton b, c'est q.

L'&#233;quation de ta droite est juste, m&#234;me si tu as fait une erreur de signe quand tu calcules b.
Et on ne peut pas r&#233;duire plus.
Mais tu peux garder la forme y=mx - (2+m) qui montre bien que m est le coefficient directeur et -(2+m) l'ordonn&#233;e du point o&#249; la droite coupe l'axe des y (si -(2+m) = 0, la droite passe par O).

La forme r&#233;duite de l'&#233;quation d'une droite ne veut pas dire r&#233;duction au sens de d&#233;velopper et regrouper les termes, comme pour une &#233;quation.
La forme r&#233;duite de l'&#233;quation d'une droite est en fait l'&#233;quation de la forme : y = mx + q
La forme g&#233;n&#233;rale de l'&#233;quation d'une droite est : ax + by + c = 0. Tu as du voir &#231;a en cours.
La deuxi&#232;me forme permet de d&#233;crire toutes les droites du plan, alors que la premi&#232;re (la forme r&#233;duite) ne permet pas d'exprimer les droites verticales sous cette forme. Les droites verticales ont pour &#233;quation x = d.

Pour le calcul des points d'intersection, tu as pos&#233; la bonne &#233;quation de d&#233;part. C'est une &#233;quation du 2&#232;me degr&#233;, il ne reste plus qu'&#224; voir, suivant les valeurs de m, quand est ce qu'il y a des solutions.

[invitec3d54b1a]

d'accord ! je retiendrais &#231;&#224; , en fait ax+by+c sert quand on parle de plan , c'est avec la g&#233;om&#233;trie dans l'espace ?

[invitec3d54b1a]

Je dois prouver que le discriminant est positif , deja ?

mais je n'y arrive pas car ça me donne:

2x²-8x+m(x-1)-2=0

Est ce que je suis parti dans la mauvaise direction ?

[nissart7831]

d'accord ! je retiendrais çà , en fait ax+by+c sert quand on parle de plan , c'est avec la géométrie dans l'espace ?

Attention,
Ce n'est pas ce que j'ai voulu dire. Je me suis peut être mal exprimé.

Quand tu travailles avec les droites y=mx+q, tu travailles dans un plan, le plan de ta feuille par exemple sur lequel tu as tracé un repère pour pouvoir placer tes points, tes droites, ta parabole, ... C'est le plan habituel avec lequel tu travailles.

Quand je parlais des droites d'équation ax+by+c = 0, ce sont des droites dans le même plan que je viens de décrire. C'est juste une autre manière d'écrire l'équation de la droite dans ce repère. C'est même la forme la plus générale d'équation de droite dans le plan considéré (comme je te l'ai expliqué dans mon post précédent).

En fait tu peux passer de cette équation à l'équation réduite :
ax+by+c= 0 by = -ax - c
Ce qui implique, si b 0 :

Et tu vois que tu retrouves l'équation de la forme y =mx + p avec m = -a/b et p = -c/b

Mais le fait d'avoir pris b 0 a éliminé un certain nombre de droites.
En reportant dans la 1ère équation avec b = 0, on a :
ax + c = 0 soit, si a 0 (si a=0, il n'y a pas de droite !!), x = -c/a ce qui exprime une droite verticale. Ce sont ces droites que l'on ne peut pas exprimer avec une équation de la forme y = mx + p. C'est pour cela que je te disais que la première équation permettait de décrire toutes les droites du plan alors que la forme réduite ne permet pas d'exprimer les droites verticales. Mais dans les deux cas, on travaille dans le plan dont tu as l'habitude, celui dans lequel tu traces ton repère (O, (Ox), (Oy)).

Dans l'espace, pour se repérer, il faut 3 coordonnées x, y, z.
L'équation d'un plan (et non d'une droite) dans l'espace sera de la forme ax+by+cz=0
L'équation d'une droite sera donnée comme l'intersection des deux plans soit :


Alors, attention à ne pas confondre !!

Mais revenons à notre plan habituel. Tu as quand même vu en cours qu'on pouvait exprimer l'équation d'une droite sous la forme ax+by+c = 0. Regarde bien dans ton cours.

Revenons à tes points d'intersection.
Tu as une équation du second degré mais rassemble les x et ensuite étudie le discriminant. C'est sûr, tu devras l'exprimer en fonction de m. C'est normal. C'est ce qui te permettra de répondre à la question posée.

[invitec3d54b1a]

Revenons à tes points d'intersection.
Tu as une équation du second degré mais rassemble les x et ensuite étudie le discriminant. C'est sûr, tu devras l'exprimer en fonction de m. C'est normal. C'est ce qui te permettra de répondre à la question posée.

m(x-1)-2=-2x²+8x
2x²-8x+mx-m-2=0

D(delta)=b²-4ac
=(-8+m)²-16m

Suis-je sur la bonne piste ? Je dois développer plus pour arriver au but ?

[nissart7831]

Bonjour,

tu t'es trompé dans le calcul de ton discriminant ().
Le c c'est -2-m. En plus tu as fait une erreur de signe en calculant le -4ac.
Une fois le discriminant correct, qu'est ce qu'il faut que tu montres pour conclure que toutes les droites (Dm) ont deux points d'intersection avec la parabole ?

[invitec3d54b1a]

Il faut montrer que la fonction a deux racines , donc il faut montrer que le discriminant est positif

[nissart7831]

Oui, et ceci quelque soit la valeur de m. Alors vas-y.

[invitec3d54b1a]

Je pense avoir trouvé l'erreur :

Delta=b²-4ac
=(-8+m)²-4*2*(-2-m)
=(-8+m)²+16+m

Il faut donc montrer que cette valeur est positive pour tout m.

[nissart7831]

Exact. Un conseil : développe le carré et réarrange les termes de façon à ce que tu puisses vérifier que le signe de l'expression soit bien celui qu'on cherche.

[invitec3d54b1a]

Je pense avoir trouvé l'erreur :

Delta=b²-4ac
=(-8+m)²-4*2*(-2-m)
=(-8+m)²+16+m

Il faut donc montrer que cette valeur est positive pour tout m.

=(m-8)²+16+m
=m²-16m+64+16+m
=m²-15m+80

j'arrrive vraiment pas là , faut-il prendre des exemples tels que avec m>0 , et m<0 ??

[invited00ee48c]

Tu pourrai peut etre étudier ...

[invitec3d54b1a]

Tu pourrai peut etre étudier ...

d représente une droite ?

[invited00ee48c]

Notation pour dire que tu peut essayer de dériver l'expression de delta par rapport à m ... et voir ce qu'il se passe au niveau du signe.

[invitec3d54b1a]

Je suis désolé , mais je n'ai pas encore étudié les dérivés , je viens à peine d'étudier les limites , mais ce n'est pas l'objectif du professeur dans cet exercice ...

[nissart7831]

Attendez, vous partez sur une fausse voie. Le discriminant de base est faux. -4*2*(2-m) ne donne pas ce que tu trouves. Recommence et procède comme je t'ai indiqué et tu verras qu'on conclut rapidement.

[Duke Alchemist]

Je pense avoir trouvé l'erreur :

Delta=b²-4ac
=(-8+m)²-4*2*(-2-m)
=(-8+m)²+16+m

Il faut donc montrer que cette valeur est positive pour tout m.

J'en ai trouvé une autre !!

Delta = b² - 4ac
Delta =(-8+m)²-4*2*(-2-m)
Delta = (-8+m)²+16+8m (!!)
Delta = ...

Avec le résultat obtenu, il n'y a plus de doute possible !

See ya.
Duke.

EDIT : Grillé !... désolé nissart j'ai indiqué l'erreur !
Je n'avais pas lu la deuxième page !!

[invitec3d54b1a]

Delta=b&#178;-4ac

ac=2(-m-2)
ac=-2m+4

4ac=4(-2m+4)
4ac=-8m+16

Delta=(m-8)&#178;+8m+16
=m&#178;-16m+64+8m+16
=m&#178;-8m+80

On tombe donc sur un trin&#244;me . En d&#233;terminant le signe de son discriminant , on trouvera le signe du trin&#244;me.

Ainsi ,

Delta2=b&#178;-4ac
=64-320
=-256

Comme Delta2 est n&#233;gatif , le trin&#244;me pr&#233;c&#233;dent est du signe de a , il est donc positif, ce qui indique que le discriminant de la premi&#232;re &#233;quation est positif .

Ainsi , il ya deux solutions dans R , donc deux points d'intersection entre la droite dm et la parabole P.

Peut-&#234;tre suis-je all&#233; trop loin , j'ai peut -&#234;tre compliqu&#233; les choses ....

[nissart7831]

Non, ce n'est pas la peine d'étudier le 2ème discriminant.

Tu ne peux pas mettre m²-8m + 80 sous forme de la somme d'un carré et d'un nombre qui ne dépend pas de m ?

[invitec3d54b1a]

Non, ce n'est pas la peine d'étudier le 2ème discriminant.

Tu ne peux pas mettre m²-8m + 80 sous forme de la somme d'un carré et d'un nombre qui ne dépend pas de m ?

m²-8m+80 = (m-4)²+64

comme (m-4)² est toujours positif , m²-8m+80 est toujours positif !!!

Donc le discriminant étant toujours positif , il y a deux solutions dans R .

Ainsi la droite dm coupe la parabole P en deux endroits .

Est-ce ça ?

[nissart7831]

Oui, c'est ça.

On dit : comme (m-4)² est positif que 64 est strictement positif alors leur somme est strictement positive. Le discriminant est donc strictement postif donc 2 racines. Le strictement est important pour l'existence de 2 racines.

[invitec3d54b1a]

Oui, parce-que si ce n'est pas strictement , alors le discrimant peut être égale à 0 , ce qui équivaut à une seule solution , donc une seule intersection avec la parabole !

Merci pour tout nissart7831 , tu m'a aidé à comprendre plein de choses . Je peux compter sur toi Par contre , à part te remercier , je ne vois pas comment je peux te rendre service !

Sur ce , à la prochaine !

[nissart7831]

Si j'ai pu t'aider à comprendre, tant mieux. C'est ça mon remerciement.

A+