Domaine de dérivabilité

[invitec4d4982f]

Bonjour !
Je ne comprends pas trop mon cours de terminale s sur les domaines de dérivabilités.
Par exemple, quel est celui de 5(x+1)^(3/2) ?
-----

[Tryss]

Le domaine de dérivabilité est le domaine de définition de la fonction dérivée. Donc en général il suffit de calculer la dérivée, et de voir ou elle est définie.

Deux exemples simples :

1) le domaine de définition de f est R tout entier

, et cette fonction est aussi définie sur R tout entier

Le domaine de dérivabilité de f est donc R tout entier (ici le domaine de dérivabilité est le même que celui de définition)


2) le domaine de définition de g est R+, l'ensemble des réels positifs ou nuls

, et cette fonction n'est pas définie en 0

Ici le domaine de dérivabilité est les réels strictement positifs, et il est différent du domaine de définition

[invitec4d4982f]

Donc, dans mon exemple, le domaine de dérivabilité est [-1;+infini[ ou ]-1;+infini[ ?
La dérivée est définie sur [-1;+infini( il me semble.

[Tryss]

Donc, dans mon exemple, le domaine de dérivabilité est [-1;+infini[ ou ]-1;+infini[ ?
La dérivée est définie sur [-1;+infini( il me semble.

Il ne faut pas se contenter d'un "il me semble" (les maths nous offrent des certitudes, il faut en profiter )

Ici, ta fonction est définie sur [-1,+oo[, et sa dérivée est f'(x) = 15/2 * (x+1)^1/2, définie aussi sur [-1,+oo[

Donc ici, le domaine de dérivabilité est bien [-1,+oo[

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ccile13]

Bonjour,

Je sais que je fais du déterrage profond (4 ans) mais ça me dérange beaucoup de voir ceci "Le domaine de dérivabilité est le domaine de définition de la fonction dérivée. Donc en général il suffit de calculer la dérivée, et de voir ou elle est définie" qui est FAUX.
Par exemple, la fonction "valeur absolue" a comme dérivée x -> -1 et x -> +1 respectivement sur ] -infini,0[ et ] 0,+infini[. Ces deux fonctions sont définies sur R et "valeur absolue" n'est pas dérivable en 0.

Une définition est donnée ici : https://www.lyceedadultes.fr/siteped...e_fonction.pdf

Encore désolée de ce déterrage
Ccile13

[gg0]

Bonsoir Ccile13.

L'exemple que tu proposes ne contredit pas le message de Tryss. D'ailleurs ton passage "Ces deux fonctions sont définies sur R" contredit ce qui précède, puisque tu as défini les domaines de définition de tes fonctions comme "respectivement ... ] -infini,0[ et ] 0,+infini["
Dans le cas de la fonction valeur absolue, la dérivée est très exactement la fonction f définie sur R-{0} par :
f(x)=-1 si x<0
f(x)=1 si x>0.
Tu te compliques l'existence en imaginant qu'il y a deux fonctions, peut-être parce que tu confonds le calcul de l'image avec la fonction : la fonction x-->x² n'est pas une fonction. ce qui est fonction, c'est par exemple la fonction de R dans R (*) définie par x-->x². La fonction de R+ dans R x-->x² en est une autre.

Cordialement.

(*) On parle souvent de fonction numérique.

[Ccile13]

Salut gg0

J'aurais peut-être dû dire "définissable" sur R au lieu de défini.
Ce qui me dérange dans la formulation de Tryss, c'est que ça me donne l'impression que ça dit "T'as une fonction, tu dérives et ensuite tu regardes sur quel espace maximal cette 'transformation' est définissable pour avoir le domaine de dérivabilité"
Pour moi, l'étude du domaine de dérivabilité se fait à priori de la dérivée pas après.

C'est vrai que ce que dit Tryss est vrai en général (mea culpa, je n'avais pas vu le 'en général') et on peut avoir du mal à trouver un contre-exemple mais je trouve ça risqué de le dire ainsi.
Par exemple : la fonction f x --> ln(x) de ]0 + infini[ dans R.
Si on dérive tout de suite, on obtient 1/x qui est définissable sur R\{0}. Si on ne fait pas attention, on peut alors se dire que comme 1/x est potentiellement définissable sur R\{0} alors f est dérivable sur R\{0}. Ce qui n'est pas le cas.
Une simple note à soi-même avant de dériver disant que le domaine de dérivabilité est inclus dans le domaine de définition de la fonction suffit comme "étude préalable" mais il ne faut pas l'oublier.

Un autre exemple, ce serait la fonction qui a x associe x sur ]-infini 0] et 2+x sur ]0 +infini[ (ou tout autres fonctions du même genre)
Elle est définie sur R, continue sur R\{0} et dérivable sur R\{0}. Sauf que sa dérivée c'est x -> 1 qui est potentiellement définie sur R...

Je ne sais pas si tu vois où est le problème.
Je sais que toi, tu gardes en tête les ensembles de définition, ce qui est important (voire primordiale) mais tout le monde ne le fait pas... Si on me donne la transformation x -> 1 je pense à la fonction définie sur R qui a x associe 1. Il y a peu de chance que je pense à un autre ensemble de définition et donc à une autre fonction. C'est pour ça que je pense qu'il vaut mieux mettre des garde-fous AVANT de dériver. Ce qui ne contredit pas ce qu'à dit Tryss (mea culpa again) mais ça me dérangeait de le voir tel quel sans bémol à la clé.

Merci de ta réponse et de votre lecture

[gg0]

Encore une fois, tu confonds l'écriture du calcul qu'on fait avec la fonction là où elle est définie avec la fonction elle-même.

La fonction ln est définie sur ]0;+oo[, donc sa dérivée ne peut pas être définie pour x<0. C'est à la base de la définition de la dérivée. Dénoncer les affirmations idiotes que certains pourraient faire ne fait pas avancer la question. La dérivée de ln(x) est 1/x sur le domaine de définition de ln. Point.

En fait, tu as voulu critiquer Tryss qui s'adressait à un interlocuteur intelligent.

Le seul piège qu'il peut y avoir c'est pour les valeurs pour lesquelles f(x) est définie, mais les calculs habituels de dérivées ne s'appliquent pas. Par exemple pour

f est définie sur [0;+oo[, mais on ne peut dériver la racine carrée que si x est non nul. On n'en conclut pas que 0 n'est pas dans le domaine de dérivation (ce n'est pas parce qu'on ne sait pas faire que c'est impossible), on calcule avec la définition (ou on change de notation) et on voit que f est aussi dérivable en 0.

Cordialement.

[Ccile13]

Tu as tout à fait raison, sauf sur les points suivants :

JE ne confonds pas l'écriture du calcul .... je suppose seulement que quelqu'un pourrait le faire.

Je ne veux pas critiquer Tryss, uniquement ce qu'il a dit (ce qui est très différent). Et comme je l'ai déjà dit, je n'avais pas prêté attention aux termes "en général", ce qui fait que ces propos ne sont pas faux mais de mon point de vu, à contextualiser. Je précise que par là, je ne critique pas non plus l'intelligence de son interlocuteur ou d'un lecteur en général (ce n'est certainement pas une question d'intelligence, mais d'attention...). Quand on s'adresse aux gens on peut avoir au moins deux points de vue : l'autre a le même fonctionnement que nous et on n'a pas besoin de préciser, ou alors il ne l'a pas et il faut alors contextualiser. Un petit exemple : Pour coder un programme qui demande l'âge de l'utilisateur, certains considéreront que l'utilisateur va bien entrer son âge ou un âge possible et ne feront aucun test pour vérifier la conformité du résultat. D'autres les feront ces tests : est-ce bien un entier positif (si on considère que l'âge est un entier par simplification), est-ce bien plus petit que allez, disons 150 ... Les deux façons de faire ont leurs avantages et inconvénients et de mon point de vue, il n'y a pas de meilleure méthode, ça dépend principalement du contexte d’utilisation et des répercussions possibles (et ce n'est en rien douter de l'intelligence de l'utilisateur que de vouloir tester : il peut s'être trompé, il l'a fait volontairement, son chat a sauté sur son clavier etc etc).
Ici c'est pour moi, une affaire de répercussion possible : quelqu'un qui n'a pas compris son cours va voir sur internet, tombe sur cette conversation et sans avoir en tête certaines choses qui te sont évidentes (le domaine de dérivation est inclus dans le domaine de définition par exemple) pourrait faire l'erreur. Alors la question est préciser ou ne pas préciser le contexte, les évidences ? Chacun est juge et fait en son âme et conscience.

Bonne soirée

[ansset]

c'est du blabla , tout ça !
On ne fait pas des maths "en son âme et conscience" !

[gdeneyer]

Salut gg0,

Je me permets d'intervenir car je suis enseignant en mathématiques et je rejoins tout à fait Cécile sur le besoin d'être précis.

Ton argument de "s'adresser à un interlocuteur intelligent" n'a aucun sens. On cherche justement ici à répondre à la question de quelqu'un, en Terminale S, qui n'a pas encore bien compris la notion de dérivabilité/domaine de dérivabilité.
"Bonjour !
Je ne comprends pas trop mon cours de terminale s sur les domaines de dérivabilités.
Par exemple, quel est celui de 5(x+1)^(3/2) ? "


Il est donc extrêmement important, en expliquant ce qu'est le domaine de dérivabilité, de préciser que ce domaine doit être inclus dans le domaine de la fonction de départ. Un élève qui avait du mal en math a pris un professeur particulier. Il est revenu vers moi en me jurant que celui-ci lui avait dit que le domaine de dérivabilité de ln(x) était .
Dire que le domaine de dérivabilité, c'est le domaine de la fonction, ça revient à omettre une partie de la réponse. Si on ne sait pas ce qu'est le domaine de dérivabilité, on ne peut pas sucer de son pouce qu'il n'est définit que sur le domaine de f. Après, c'est très simple d'être complet et de rappeler à l'élève que, selon la définition de la dérivée, on ne pourrait pas calculer lim... hors du domaine.

Je trouve d'ailleurs qu'il faudrait éditer le premier post pour directement remettre les pendules à l'heure car votre discussion est une des premières références lorsque l'on tape "domaine de dérivabilité de ln x" et le lecteur non averti pourrait se contenter de domaine de dérivabilité = domaine de la dérivée.

Cordialement,
Gilles

[gg0]

Désolé Gilles,

mais j'ai toujours tendance à penser que les gens auxquels je m'adresse sont intelligents, et à faire appel à leurs connaissances et leur intelligence. Et je fais appel à ton intelligence
Il me semble très malsain qu'un élève de terminale S, qui a vu la dérivation en première, ne se soit pas rendu compte qu'on ne dérive pas une fonction là où elle n'est pas définie. Ça veut dire qu'il a eu une activité "automathique" en première, pas une vraie activité intellectuelle. Et ton exemple du professeur particulier qui n'y connait rien n'a rien à voir avec la question..

Tryss a parfaitement répondu au message #4. Le domaine de dérivabilité est bien le domaine de définition de la fonction dérivée; point. Qu'est-ce que ça pourrait-être d'autre ??? Ce n'est presque pas des maths, seulement de la compréhension du français.
D'ailleurs, j'ai l'impression que Plique avait bien vu que sa fonction est dérivable en -1, bien qu'on ne puisse pas dériver la racine carrée en 0.

Cordialement.

NB : Je n'ai pas compris ta phrase "Dire que le domaine de dérivabilité, c'est le domaine de la fonction, " ?? Voulais-tu dire "Dire que le domaine de dérivabilité, c'est le domaine de la fonction dérivée, "? Si c'est ça, je ne vois pas où est le problème. Vraiment.

[gdeneyer]

pour ton ps, c'est une coquille bien sûr : je n'oserais pas faire dire à Tryss ce qu'il n'a pas dit

L'exemple du prof particulier est là pour te rappeler que ce qui te paraît évident ne l'est pas pour tout le monde. Beaucoup de gens font cette faute et cela vient d'affirmations telles que celles de Tryss qui simplifient trop.

Le fait de dire que 1/x est définie sur l'intervalle des réels positifs sans 0 car c'est la dérivée de ln x DECOULE de la définition du domaine de dérivabilité. Alors oui, je suis d'accord que la définition du domaine de dérivabilité est logique, c'est là ou l'on peut calculer la dérivée à l'aide de sa définition mais je maintiens que la proposition de Tryss est incomplète.

Tu le dis toi même, on ne peut pas confondre l'expression de la fonction et la fonction et bien, si je ne sais pas ce que signifie domaine de dérivabilité je ne suis pas encore au stade ou 1/x comme dérivée de ln x est considéré comme une fonction car je ne connais pas son ensemble de départ. Pour le connaître, il faut le définir à l'aide : du domaine de ln x et des conditions d'existence de 1/x --> domaine de dérivabilité (ce qu'on cherche à comprendre !)

[gg0]

Je ne comprends pas toute cette logorrhée (*). C'est pourtant simple : On a une fonction, on veut savoir où elle est dérivable. par définition de la dérivée, elle ne peut être dérivable que pour des valeurs où elle est définie. On s'intéresse ensuite à la possibilité de dériver, par les formules ou par la définition. Les formules de dérivation donnent des ensembles de valeurs où il y a dérivabilité : ln(x) étant dérivable, son domaine de dérivabilité est ]0,+oo[. Pas besoin d'épiloguer.
En lycée, d'ailleurs, la notion de domaine de dérivabilité est une absurdité : les fonctions élémentaires sont toutes dérivables sur leur domaine, sauf la racine carrée. On peut apprendre aux élèves qu'une fonction construite avec une racine carrée peut être dérivable même là où la racine carrée s'annule. C'est suffisant.

J'ai essayé d'éclaircir la question pour Ccile13, tu commences à me faire regretter : Tu obscurcis encore ce qui est simple.

(*) le prof particulier idiot qui raconte des âneries, ça peut arriver, on ne va pas passer notre temps à ça. et ce que tu racontes sur 1/x est bizarre ! 1/(-2) existe ! et on sait que ln est dérivable !