Conjecture du sens de variation d'une suite et de sa limite.

[Spouitch]

Bonsoir,
j'ai un autre exercice de maths à faire, et je n'arrive pas à le finir (je ne comprends pas vraiment ce que l'on me demande de faire).

On a 2 suites, et il faut représenter graphiquement les 5 premiers termes de cette suite (je l'ai fait sans problèmes).
Ensuite (et c'est là où ça bloque), il faut conjecturer le sens de variation et la limite de chaque suite.

1) u_n+1 = 1,1u_n + 1 et u₀ = -2
J'ai mis ici que la suite semble être croissante, et que x ≃ 0,9 (mais je ne sais pas si c'est correct)

2) u_n+1 = -0,8 u_n + 5 et u₀ = 0
Ici, j'ai mis que cette suite semblait croissante et décroissante (alternativement), mais je ne sais pas comment conjecturer la limite...

Pourriez-vous m'aider et me corriger ?
Merci
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[PlaneteF]

Bonjour,

x ≃ 0,9

Cà veut dire quoi çà ... En tout cas ce n'est pas la limite de la suite !

(...) mais je ne sais pas comment conjecturer la limite...

Petite remarque qui devrait t'aider dans les 2 cas :

Si une suite converge vers , alors et

[ansset]

si ta suite est convergente alors U(n+1) tend vers U(n) forcement.

EDIT : même remarque que PlanèteF

[Spouitch]

Merci de vos réponses, mais je ne comprends toujours pas...

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Merci de vos réponses, mais je ne comprends toujours pas...

Pour le 1), peux-tu donner les 5 premiers termes que tu as trouvé, ... et c'est quoi ton "0,9"

Pour le 2), SI la suite converge vers , alors en appliquant la remarque évoquée précédemment il vient : .

Par contre attention, cela ne constitue pas une démonstration de convergence, mais bien une conjecture (ce que te demande l'énoncé) qui peut s'exprimer ainsi : Si l'on conjecture que la suite converge, alors la limite de cette suite vérifie la relation précédente.

[Spouitch]

Bonjour, et me revoilà prête à en finir avec cet exercice !

Pour le 1), les 5 premiers termes sont :
u0 = -2
u1 = -1,2
u2 = -0,32
u3 = 0,648
u4 = 1,72

Et pour trouver ce "0,9", j'ai fait ceci (mis ça doit sûrement être faux) :
x = 1,1x + 1
x - 1,1x = 1
1,1x = 1
x = 0,9

Pour la 2) par contre, je ne sais pas vraiment quoi faire, et je vois bien pourtant que c'est croissant, puis décroissant...

[Spouitch]

Personne n'a d'idée ?

[PlaneteF]

Et pour trouver ce "0,9", j'ai fait ceci (mis ça doit sûrement être faux) :
x = 1,1x + 1
x - 1,1x = 1
1,1x = 1
x = 0,9

Il y a 2 problèmes dans ce que tu écris là :

1) D'abord ton calcul est faux, le résultat étant x=-10

2) Ensuite c'est exactement ce que je t'ai expliqué dans mon message #5, si tu appelles x la limite de la suite comme tu le fais, tu as le droit d'écrire x=1,1x+1 uniquement si (U_n) est convergente, ... hors justement, au vue des 1^ers termes que tu as trouvés (suite strictement croissante avec un écart entre 2 termes consécutifs qui augmente), tu peux conjecturer que la suite est divergente, et sa limite est +infini.

Pour la 2) par contre, je ne sais pas vraiment quoi faire, et je vois bien pourtant que c'est croissant, puis décroissant...

Je t'ai (quasiment) donné la réponse toujours dans ce même message #5

[Spouitch]

Merci de tes explications, et pardon de ne pas avoir compris plus vite... J'ai bien pris le temps de relire ce que tu avais écrit dans le #5, et tout s'est éclairé XD
Ce qui fait que j'en suis là :

Pour le 1), je ne sais pas comment montrer que la suite diverge vers +∞, que sa limite est +∞...
Pour le 2), je sais comment faire maintenant grâce à ta remarque, je sais que la suite converge vers un nombre ɭ qui est proche de 2,7 (approximativement), mais je n'arrive pas à résoudre ɭ = -0,8 ɭ + 5... Je connais le résultat approximatif (donc 2,7 mais je n'arrive pas à le retrouver

[PlaneteF]

Pour le 1), je ne sais pas comment montrer que la suite diverge vers +∞, que sa limite est +∞...

D'après l'énoncé que tu nous donnes, il faut conjecturer et non pas démontrer. Je t'avais donné la raison qui permet d'énoncer cette conjecture : La suite est strictement croissante avec un écart entre 2 termes consécutifs qui augmente.

Maintenant si tu veux le démontrer, tu as affaire ici à une suite dite "arithmético-géométrique". Si tu poses , tu montres facilement que est une suite géométrique de raison ... ce qui te permet de conclure !

Pour le 2), je sais comment faire maintenant grâce à ta remarque, je sais que la suite converge vers un nombre ɭ qui est proche de 2,7 (approximativement), mais je n'arrive pas à résoudre ɭ = -0,8 ɭ + 5... Je connais le résultat approximatif (donc 2,7 mais je n'arrive pas à le retrouver

Non, stricto sensu, "tu ne sais pas" que la suite converge, tu conjectures cette propriété ! Et si tu supposes (conjectures) que cette suite est convergente, alors sa limite vérifie : , équation que tu sais résoudre je n'en doute pas une seule seconde

Et comme précédemment, si tu veux le démontrer, tu as une nouvelle fois affaire à une suite arithmético-géométrique, et si tu poses , bla bla bla bla, même chose que précédemment, est une suite géométrique de raison etc ...

[Spouitch]

Donc pour la 1), une phrase est suffisante, et pour la 2), alors que j'avoue que je coinçais sur le calcul comme une pauvre nigaude, je viens de le refaire en 2 secondes et de trouver le résultat que je voulais...

C'est à cause de ta remarque ("je n'en doute pas une seconde"), ça a touché ma fierté !
Franchement, à quoi est-ce que je pensais ? C'est simple comme bonjour !
Bref, merci de tes indications et de ta patience, je crois que de mon côté je vais faire de grandes révisions...
Merci pour ton coup de main