Récurrence

[invite576e0809]

Bonjours, alors voila j'ai beaucoup de mal avec les récurrences j'aimerais avoir un peux d'aide sur un exercice qui me pose problème le voici:
Soit la suite (Un) définie sur N par U0= 12 et pour tout n entier Un+1 = 3/4 Un + 2 .
On souhaite étudier de 2 façons différents:

Méthode 1
a- Déterminer le sens de variation de (Un) en utilisant un raisonnement par récurrence.
b-Démontre de même que la suite est bornée.
c- En déduire que (Un)converge et déterminer sa limite.

Méthode 2
On définie la suite(Vn) par Vn=Un-l où l est la limite conjecturée (dans les questions d'avant que je n'ai pas noté j'ai mi que la limite est 8)
a-Déterminer la nature de la suite (Vn).
b- Exprimer Vn puis Un en fonction de n et en déduire la limite de la suite (Un).

Voila J'aimerais beaucoup avoir votre aide car je bloque et j'aimerais comprendre pour pouvoir faire les autres exercices seul !!
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[gg0]

Bonjour.

La meilleure façon de comprendre est de faire (recopier et imiter, ça n'est pas comprendre, ça ne demande d'ailleurs aucune vraie intelligence).
Donc pour la première question, tu peux, au brouillon, essayer de voir quel est le sens de variation, puis essayer de faire la récurrence. L'idée est simple. Si, par exemple l'hypothèse de récurence est U_n<U_n-1, on multipliera par 3/4 et on ajoutera 2 pour passer à U_n+1 et U_n. Je n'ai pas eu besoin de connaître l'exercice pour te dire ça, juste de lire comment est définie la suite.
Ensuite, comme ta suite est déctroissante, il est facile de voir qu'elle est bornée (tu sais ce que ça veut dire). En plus, tu connais à l'avance la limite (8 d'après tes dires).

la deuxième partie se fait aussi facilement en utilisant un peu de réflexion (et tu n'en manques pas !)

A toi de faire ...

[invite576e0809]

Oui je vais voir ça merci mais bon j'ai l'impression que les résultats que je trouve sont faux ...

[jamo]

Bonjour
si tu mettais tes résultats , on verrait où tu t'es trompé .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite576e0809]

Pour la 1/a c'est bon mais pour la b je n'y suis pas du tout j'ai trouvé 31/2 < 3/4 Uk +2 < 11 c'est totalement illogique ....

[invite576e0809]

Ou alors j'ai essayé une autre méthode et ça donne : -3/12 + 2 < -3/(Uk+4) + 2 < -3/16 + 2

[jamo]

31/2=15 et des poussières
tu as écrit que : 31/2 < 3/4 Uk +2 < 11

[invite576e0809]

Oui c'est pour ça c'est faux

[jamo]

Un+1 = 3/4 Un + 2 et U0= 12
essaie de calculer les premiers termes de la suite
U1= ?
U2= ?
U3= ?
et une suite bornée est une suite qui vérifie |Un|<=M

[gg0]

Pour montrer qu'une suite u est bornée, il suffit de trouver 2 nombres A et B tels que pour tout n, A<u_n<B. A pouvant être aussi petit que l'on veut, le tout est qu'il existe (et alors il en existe une infinité puisqu'en diminuant encore, l'inégalité est encore vérifiée). Idem pour B.
Dans le cas de cet exercice, il y a un A très évident et particulièrement simple. Et un B évident puisqu'elle décroît (donc majorer u₀ suffit).

Cordialement.

[invite576e0809]

U1 = 11 U2=10.25 et U3=9.6875
Mais il faut faire une démonstration par récurrence ....

[gg0]

Allez, réfléchis un peu, il y a des nombres dont tu sais d'avancre qu'ils sont inférieurs à tous les termes. Dont un nombre très simple, fondamantal, même; et un autre dont tu as parlé. La suite est décroissante ...

[jamo]

Bonjour
Pour la récurrence , tu vois que U2-U1<0
hypothèse de récurrence : Un-Un-1<0 ;
il suffit de démonter que Un+1-Un<0
relis bien le message 12 de Gg0 que je cite : Dont un nombre très simple, fondamental, même
Bon courage.

[invite576e0809]

Merci je vais revoir ça