Equation cubique

[invitee291b69b]

Bonjour, je suis au lycée et pour l'instant je me préoccupe par les équations cubique :
Voici mon équation, 10x^3 + 5x² + 4x + 2 = 0
En remplaçant x par x-(b/3a), j'obtiens : 10x^3 + 4x + 7/54= 0
Et en divisant par tous les termes, j'obtiens x^3 + 0.4x + 7/540 = 0
Puis après, je sais pas ce que je dois faire: Sur certains site, on me dit "Il faut calculer le discriminant" mais mon prof de maths ma dit qu'il n'y avait de discriminant au delà des polynôme du second degré (Oui je sais les résoudre !!!) !
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[gg0]

Bonjour.

Il existe des méthodes générales pour résoudre de telles équations, mais aucune purement algébrique s'il y a trois solutions. Le cas le plus simple est lorsqu'on peut trouver une "racine évidente".
ici, si tu fais tracer la courbe de 10x^3 + 5x² + 4x + 2 sur ta calculette, tu verras facilement une valeur à tester comme racine évidente. Ensuite, tu pourras factoriser ton équation.

Cordialement.

[invitee291b69b]

Ah ok merci !!

[invitee291b69b]

Mais est-ce qu'on peut pas factoriser l'équation !!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[danyvio]

Mais est-ce qu'on peut pas factoriser l'équation !!!

Oui ! Quand tu auras trouvé une racine r (méthode gg0), tu peux mettre (x-r) en facteur d'un polynome du second degré.

[gg0]

Ben si !

Puisqu'on connaît une racine :
Théorème : Soit P un polynôme. Si a est une racine, P(x) se factorise par (x-a).

Mais à priori, on ne sait pas factoriser les polynômes de degré 3 en général. Par exemple x³-4x+2 a trois racines réelles, mais il y a de fortes chances qu'on ne sache pas les calculer algébriquement (mais on peut en donner facilement des valeurs approchées : 1.675130870, -2.214319744, 0.5391888736; ou en donner une expression exacte utilisant la trigonométrie).

Cordialement.

NB : Dans certains cas, il y a des factorisations évidentes : x³+5x²+3x+15= x²(x+5)+3(x+5)=...