Démonstration "limites de fonctions par les séries"

[The_Anonymous]

Bonsoir tout le monde! (Ou bonjour )

Je crée ce topic cette fois car j'ai un problème avec une démonstration (je crois que ce sont les preuves qui me posent problème...), qui porte... sur les limites! (Héhé)

Voici la proposition à prouver :

"Proposition : La fonction réelle , définie au voisinage de , admet pour limite lorsque x tend vers a si et seulement si l'image de toute suite de D(f)\ {a} qui tend vers a est une suite qui tend vers b. En particulier, si b et b' sont deux limites de f lorsque x tend vers a, alors b=b'. "

Indication : La suffisance de la condition sur les suites se démontre avantageusement par l'absurde.

J'en déduis qu'il faut faire une preuve par l'absurde , mais comment?

J'ai essayé de synthétiser la proposition, de la ré-écrire, pour voir si j'avais bien compris...

Voici ma rédaction propre :

" définie au voisinage de , , pour D(f) \ {a}, (pour la première partie)

et (deuxième phrase) "

(Je vais encore me faire taper sur les doigts par S123 pour mon utilisation de "lim" :3)

Voilà, je vous laisse corriger le nombre incroyable de fautes que j'ai dû faire,

Et peut-être me donner quelques indications (supplémentaires) quant à ma preuve...

Merci beaucoup pour le temps pris !

Cordialement
-----

[The_Anonymous]

Après réflexions...

Je ne vois toujours pas comment faire pour la première partie...

Pour la deuxième, je pense qu'il faut supposer , mais pour quoi faire ensuite...?

Merci d'avance de votre aide

[The_Anonymous]

Oups désolé j'ai fait un doublon sans faire exprès et je n'arrive pas à le supprimer... Vraiment désolé...

[The_Anonymous]

Le topic semble tomber dans l'oubli... Un peu d'aide s'il vous plaît...?

(UP!)

[A voir en vidéo sur Futura]

[S321]

Bonjour,

La réécriture formelle de la preuve n'est pas impeccable et à mon avis, ça ne vous aide pas. Mais ce n'est pas à cause d'une utilisation abusive du symbole "lim", l'utiliser pour enchaîner des lignes de calculs est inutile et dangereux, mais ce n'est pas ce que vous faites ici.

Soit f une fonction définie au voisinage d'un réel a et soit b un réel alors :

⇔ pour toute suite (x_n) telle que x_n∈D(f)\{a} et on a que
Cette équivalence peut encore s'écrire

⇔ ∀(x_n)∈(D(f)\{a})^ℕ

f, a et b sont définit en dehors de l'équivalence car des deux côtés de l'équivalence on y fait appel. Par exemple si P et Q sont des propriétés écrire :
"Soit x alors
P(x)⇔Q(x)"
et "(Pour tout x P(x) est vrai) ⇔ (pour tout x Q(x) est vrai)"
ce n'est pas dire la même chose du tout. Dans le deuxième cas on définit x de chaque côté de l'équivalence, il ne s'agit pas forcément du même élément.


Ceci étant dit pour en revenir à votre démonstration il va déjà falloir que vous commenciez par rappeler ce que veut dire par définition.
Une fois que vous avez la définition d'une limite, le sens direct devrait être très simple. C'est à dire qu'en supposant que et en prenant une suite (x_n) quelconque vérifiant les hypothèses, montrer que .

Pour le sens réciproque vous supposez ce coup ci que pour toute suite (x_n) qui converge vers a (f(x_n)) converge vers b et vous supposez par l'absurde que f(x) ne converge pas vers b lorsque x tend vers a (il faut écrire cette dernière propriété correctement en revenant à la définition). A partir de là vous tentez de construire une suite qui va converger vers a dont l'image ne va pas converger vers b...

P.S : Si vous m'appelez encore une fois S123, je ne vous aide plus. Na !

[The_Anonymous]

Un énorme merci poir tout ce grand pavé explicatif, il me semble avoir tout compris...

Je n'ai pas le temps de me mettre maintenant au boulot, mais je ré-étudierai cela plus tranquillement et je vous répondrai alors.

Merci énormément pour le temps pris, je vais essayer de me clarifier un peu ma notion de limite par fonctions.

Je suis absolument désolé pour ma coquille, je m'en souviendrai maintenant, S321

À bientôt!

(P.S. : Merci encore )

[The_Anonymous]

Et voilà! J'ai branché mon cerveau !

Donc, pour la 1)1. : On a , tel que , alors tel que tel que .

(Beaucoup de signes, mais ça devrait aller...!)

Je vois que si on arrive à dire que , alors l'implication est direct gagnée! (Et aussi que , mais ça on le pose...)

Mais comment...? Je ne vois pas le lien entre les deux...

1)2. On a : tel que tel que , tel que , alors .

Donc là, suivant les conseils de S321, on suppose la parenthèse juste mais la seconde partie fausse :

Puisque la limite de f(x) ne doit pas être b, on a donc suivant la définition que

, tel que , alors .

Toujours suivant S321, on a la suite , mais .

(Si j'ai bien compris, il faut montrer que , tel que , alors , mais est absurde, comme ça on prouve la contraposée, donc l'implication...)

[The_Anonymous]

Bon, désolé pour le double-post, je me suis trompé entre "envoyer la discussion" et "visualiser le message", et impossible de revenir en arrière...

Bref je continue, je reprends plutôt que , par soucis de calcul....

Donc la deuxième partie revient à dire que :

tel que , mais tel que .

Et là, je m'enmêle... Ça a l'air juste à première vue, mais comme on doit prouver que c'est absurde...

J'ai besoin d'aide !

Pour la 2), je dois montrer que

, tel que , alors et , tel que , alors.

C'est sûr que ça a l'air juste, mais pourquoi est-ce vraiment juste? Je vous le demande....

Merci pour toutes vos réponses

Merci encore

Cordialement,

Brazeor

[S321]

Je ne comprend pas bien pourquoi vous ∀ε deviennent des ∃ε. Méfiez vous vraiment de ne pas utiliser ces symboles comme des abréviations, leur signification est précise.

, tel que , alors

Jusque là c'est à peu près correct, c'est bien la définition du fait que f(x) tend vers b lorsque x tend vers a. Juste un tout petit soucis de rédaction, au milieu d'une proposition logique on utilise des symboles logiques comme connecteurs, pas d'alternance entre ces symboles et les mots français (ces derniers permettant de connecter les différentes propositions entre elles). De plus vous faites intervenir un "x" qui n'est pas définit.



A partir de là vous voulez écrire une autre proposition logique qui serait conséquence de celle-ci, pour ce faire vous pouvez dire "donc" plutôt que de mettre un symbole d'implication qui n'est finalement pas très clair.

Ensuite vous écrivez

tel que tel que

Là vous faites apparaître un "n" qui n'est pas définit au sein de vos propositions logiques qui de toutes façons ne veulent pas dire grand chose. En réecrivant en français rien que la première partie de cette phrase ça se lit "Il existe un réel qui est strictement plus grand que |x_n-a|". Bien sûr c'est vrai, |x_n-a|+1 convient, mais c'est sans la moindre espèce d'intérêt.

En se basant sur ces propositions qui ne veulent pas dire grand chose, la suite devient franchement incompréhensible, je ne peux donc pas vraiment vous dire si c'est juste ou pas. Mais il y a tout de même un point sur lequel je veux intervenir. A un moment vous écrivez

Ce qui est à nouveau une utilisation fausse du symbole "lim". Ce que vous voulez dire c'est que (f(y_n)) ne converge pas vers b, c'est à dire que soit cette quantité converge vers autre chose, soit elle diverge.
Mais comme je vous l'ai dit, vous pouvez écrire uniquement si vous savez que (f(y_n)) converge, même si c'est pour dire que cette limite est différente d'un nombre particulier.
Donc lorsque vous écrivez ce que vous dites c'est que votre suite converge vers un nombre mais que ce nombre n'est pas b. Ce n'est pas ce que voulez dire.

Bien. Maintenant que tout ça a été dit, reprenons la démonstration sur de bonnes bases.
1ère étape le sens direct.
C'est à dire montrer que si f est une fonction définie au voisinage de a∈ℝ admet b∈ℝ pour limite en a alors pour toute suite (x_n) à valeurs dans D(f)\{a} qui converge vers a on a que (f(x_n)) converge vers b.
J'ai donc comme hypothèse :


Je ne pense pas que ce soit vraiment nécessaire mais si je voulais écrire sous forme de proposition logique ce qu'il faut montrer j'écrirais :

(Je précise qu'à droite et à gauche du symbole d'implication je définis les variables ε, N et n et qu'il ne s'agit pas a priori des même. La partie initiale sert à déclarer une suite quelconque à valeurs dans D(f)\{a} avec toutefois un abus de notation sans lequel la formule deviendrait illisible, la partie à gauche de l'implication sert à dire que ma suite converge vers a et la partie à droite de l'implication dit que (f(x_{n)) converge vers b}).

Pour démontrer ce théorème une rédaction serait :
Soit (x_n) une suite à valeurs dans D(f)\{a} qui converge vers a et soit ε>0
- Là on montre qu'il existe un entier N tel que si n>N alors |f(x_n-b|<ε. Pour se faire on rappel qu'il existe δ>0 tel que si |x - a|<δ alors |f(x) - b|<ε et on choisit donc N tel que si n>N alors |x_n - a|< δ ce qui permet bien de conclure que |f(x_n) - b|<ε ce qui démontre la proposition.

J'ai évidemment mis des détails à en vomir, mais l'idée est de vous montrer comment une démonstration peut se rédiger correctement, à partir de là on peut commencer à réduire et à abréger.

Ensuite le sens réciproque.
On suppose : 1) Que pour toute suite (x_n) à valeurs dans D(f)\{a} qui converge vers a alors (f(x_n)) converge vers b.
2) Que f n'admet pas b pour limite en a. Là ça vaut le coup d'écrire formellement cette proposition. C'est la négation de
donc c'est

Une fois qu'on a correctement écrit cette hypothèse il ne reste plus qu'à construire une suite x_n dont les éléments sont de plus en plus proche de a mais dont les images restent à une distance plus grande que ε de b.

[The_Anonymous]

Merci beaucoup!

J'ai bien pu avancer ma preuve, il me reste plus que la fin de l'absurde mais je ne trouve pas la fin... Je vous fais ce message un peu à l'arrache sur un téléphone qui n'est pas le mien, si vous pouviez m'indiquer comment procéder, merci!

[S321]

Vous voulez dire qu'une fois que vous avez une suite (x_n) qui tend vers a telle que (f(x_n)) ne tend pas vers b vous n'arrivez pas à conclure que c'est absurde ou c'est construire la suite en question que vous ne parvenez pas à faire ?

[The_Anonymous]

Ah... Dire que reste à une distance plus grande de que de b signifie que ne tend pas vers b?

Et alors dans ce cas, cela veut dire que c'est absurde (je ne vois pas l'absurdité en fait...)?

Mais merci encore pour votre gros pavé, j'essaierai d'être attentif quant aux notations de "lim", de et de ...

Merci

[S321]

Ah... Dire que reste à une distance plus grande de que de b signifie que ne tend pas vers b?

Comment f(x_n) pourrait tendre vers b sans s'en approcher ? Ici ε c'est un nombre, on a dit qu'il existait un ε et on l'a fixé, il ne devient pas "aussi petit qu'on veut". Par exemple ε pourrait très bien valoir 1/2. Que f(x_n) tende vers b sans jamais être à une distance de b plus petite que 1/2, ça parait quand même difficile ^^.

Et alors dans ce cas, cela veut dire que c'est absurde (je ne vois pas l'absurdité en fait...)?

Vous avez supposé que pour toute suite qui converge vers a, la suite de ses images converge vers b. Maintenant vous construisez une suite (x_n) qui converge vers a et dont la la suite des images ne converge pas vers b. Ca se contredit, on ne peut pas supposer quelque chose pour toutes les suites mais qu'il y en ait une qui ne le vérifie pas.

Mais sinon la démonstration peut se faire entièrement sans jamais faire appel à l'absurde, je ne suis d'ailleurs pas fan de l'abus de ce type de raisonnement (je suis adepte de la logique brouwerienne, mais cette question nous emmènerait trop loin). En réalité ce qu'on cache ici c'est un raisonnement par contraposition.

Vous voulez montrer une équivalence A⇔B où A est la proposition "f admet b pour limite en a" et où B est la proposition "Pour toute suite de D(f)\{a} qui tend vers a la suite de ses images tend vers b". Démontrer A⇒B se fait sans trop de problème comme on la vu, mais démontrer B⇒A est difficile tel quel.

Pour démontrer B⇒A par l'absurde il faut supposer que B est vrai (ce que j'ai fait) et supposer que non(A) est vrai aussi pour en arriver à une contradiction. Mais en regardant de nouveau la démonstration (enfin moi je l'ai pas rédigé, je vous laisse le faire) on se rend compte qu'une fois qu'on a supposé non(A) on montre en sens direct que la proposition non(B) est vrai ce qui signifie qu'on a montré l'implication non(A)⇒non(B) qui est la contraposée de B⇒A.

Or on apprend au collège (même si on ne s'étend pas sur le sujet) que démontrer une proposition ou sa contraposée ça revient au même*. Donc on n'avait en fait pas besoin de supposer B vrai on montre simplement A⇒B puis non(A)⇒non(B) en sens direct dans les deux cas ce qui démontre l'équivalence A⇔B.
Je précise qu'on peut faire cette réflexion sur la quasi-totalité des démonstrations par l'absurde qu'on voit avant et après le bac. De toute ma scolarité sur les centaines de démonstrations par l'absurde que des profs m'ont présentés il y a du y en avoir disons cinq qui ne se ramenaient pas aisément à la démonstration d'une contraposée en sens direct.

*Ce n'est pas vrai en logique brouwerienne !

[The_Anonymous]

Vraiment intéressant... Grâce à vous, j'ai pu découvrir Brouwer, sa logique dans la topologie et son théorème du point fixe

Ceci dit, j'ai pu finaliser ma preuve, je vous remercie énormément (comme d'habitude ), j'ai pu comprendre la logique de la démonstration (encore une fois, c'est le thème du premier sujet abordé dans mon cours (il y a deux ans), toujours revenir aux bases!).

Quant à moi, on me dit souvent Carthésien alors que je me définirai Dedekindien

Encore merci pour tout!

Cordialement

Brazeor

[S321]

Vraiment intéressant... Grâce à vous, j'ai pu découvrir Brouwer, sa logique dans la topologie et son théorème du point fixe

C'est amusant mais moi je ne savais pas qu'il avait démontré un théorème de point fixe (même si je connaissais la version général dudit théorème sous le nom de théorème de Schauder).

j'ai pu comprendre la logique de la démonstration (encore une fois, c'est le thème du premier sujet abordé dans mon cours (il y a deux ans), toujours revenir aux bases!).

Quant à moi, revenir aux bases, c'est mon leitmotiv. Je m'intéresse plus aux structures de raisonnements à proprement parler qu'aux propriétés que lesdites structures permettent effectivement de démontrer.

Quant à moi, on me dit souvent Carthésien alors que je me définirai Dedekindien

L'un n'empêche pas l'autre. D'autant que la plupart des gens utilise le mot "cartésien" pour dire "adepte de la pensée rationnelle", sans trop vouloir m'avancer quant à la vie privée de Dedekind je pense pouvoir affirmer qu'il estimait la pensée rationnelle.

En ce qui me concerne, bien que généralement rationnel, je ne suis pas du tout cartésien en ce sens que je ne crois pas à l'existence d'une "connaissance universelle" accessible par la raison. Toute structure de raisonnement ne permet d'établir des vérités que dans le cadre d'une axiomatique qu'il faut présupposer vraie.
Qui somme nous pour affirmer que "par un point extérieur à une droite passe une unique parallèle à cette dernière" alors qu'on peut très bien affirmer tout autre chose parfaitement contradictoire avec cette dernière affirmation et qui permette quand même de faire des mathématiques cohérentes ?
Je ne vois rien d'universel dans la véracité d'une proposition quelle qu'elle soit. Pas même le Cogito ergo sum, il ne me semble en effet que ce n'est pas une conséquence de la théorie des ensembles. Si on n'admet que la théorie des ensembles et absolument rien d'autre alors le Cogito est sans doute indécidable.

Étonnant non ?

[The_Anonymous]

C'est amusant mais moi je ne savais pas qu'il avait démontré un théorème de point fixe (même si je connaissais la version général dudit théorème sous le nom de théorème de Schauder).


Quant à moi, revenir aux bases, c'est mon leitmotiv. Je m'intéresse plus aux structures de raisonnements à proprement parler qu'aux propriétés que lesdites structures permettent effectivement de démontrer.


L'un n'empêche pas l'autre. D'autant que la plupart des gens utilise le mot "cartésien" pour dire "adepte de la pensée rationnelle", sans trop vouloir m'avancer quant à la vie privée de Dedekind je pense pouvoir affirmer qu'il estimait la pensée rationnelle.

En ce qui me concerne, bien que généralement rationnel, je ne suis pas du tout cartésien en ce sens que je ne crois pas à l'existence d'une "connaissance universelle" accessible par la raison. Toute structure de raisonnement ne permet d'établir des vérités que dans le cadre d'une axiomatique qu'il faut présupposer vraie.
Qui somme nous pour affirmer que "par un point extérieur à une droite passe une unique parallèle à cette dernière" alors qu'on peut très bien affirmer tout autre chose parfaitement contradictoire avec cette dernière affirmation et qui permette quand même de faire des mathématiques cohérentes ?
Je ne vois rien d'universel dans la véracité d'une proposition quelle qu'elle soit. Pas même le Cogito ergo sum, il ne me semble en effet que ce n'est pas une conséquence de la théorie des ensembles. Si on n'admet que la théorie des ensembles et absolument rien d'autre alors le Cogito est sans doute indécidable.

Étonnant non ?

Étonnant, oui, bien que je ne comprenne pas tout votre texte (excuser mes connaissances appauvries ^^), mais en touts cas, je trouve cette analyse et ce domaine de raisonnement plus qu'intéressant!

Peut-être qu'un jour je m'y lancerait plus scientifiquement dans une étude spécifique!

Merci encore pour votre réponse