Calcul de Log(2)

[The_Anonymous]

Bonjour tout le monde!

De retour avec un calcul de... Logarithme avec un grand L!

Mon exercice est de calculer .

J'ai réussi à trouver que . (Bon ok, c'est pas très dur... )

Évidemment, Log(100) = 2, mais quant à Log(2), héhé....

Heureusement le calcul est à faire au 0.0001 près... pas plus!.

J'ai trouvé, après de mombreuses recherches le moyen de faire un calcul simple (avec mes rudimentaires connaissances ^^) de ce logarithme, en calculant décimal après décimal... Sauf que son calcul est confus, il se trompe de valeur il me semble et ne va pas jusqu'à assez de décimals (non, non, je ne prévoyais pas de recopier bêtement sauf que je ne sais pas comment continuer...).

Voici donc le topic cité : .

Merci donc de me donner une astuce, la méthode pour continuer le calcul à l'infini (bon, je vais pas calculer 4628173 décimals, mais si au moins je comprends la méthode)...

Merci d'avance

Cordialement
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[The_Anonymous]

Voici donc le topic cité : .

Il y a bien un lien quand on click sur le smiley (désolé j'avais pas d'autre idée ^^), ce n'est pas du foutage de gueule...

(Je dis juste ça pour confirmer, après relecture, ce smiley faisait un peu bizarre...)

Sinon, vous avez des conseils s'il vous plaît?

[Samuel9-14]

T'as pas le droit d'utiliser de calculatrices ? ^^

[The_Anonymous]

T'as pas le droit d'utiliser de calculatrices ? ^^

Eh non, nous sommes comme les moines écossais du temps Neper.. Nous faisons tout à la main...^^

Donc il me faut une méthode pour calculer à la main

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[Samuel9-14]

Alors je peux pas t'aider, on n'a jamais travaillé desus

[The_Anonymous]

Alors je peux pas t'aider, on n'a jamais travaillé desus

Pas de soucis, j'attendrai la réponse de quelqu'un d'autre

[gg0]

Bonjour.

Ne connaissant pas ton niveau, voici une méthode très élémentaire.

On va rechercher des puissances de 2 qui sont proches de puissances de 10. la première est 1024 proche de 1000 :
donc
Et on recommence ...

Amuse-toi bien.

NB : Pour des méthodes plus élaborées, il faudrait savoir quelles connaissances on peut utiliser.

[S321]

Bonjour,

Personnellement j'aurai tenté de le faire par dichotomies successives. Si je ne me trompe pas ce que vous cherchez c'est le logarithme en base 10 de 2. Ce qui revient à résoudre l'équation 10^x=2. Mais vu que votre objectif final est en réalité de résoudre l'équation 2^x=100 et que la méthode sera la même, autant l'appliquer directement à cette dernière ^^.

Le but c'est d'encadrer x puis de couper en deux l'intervalle successivement. On sait déjà que 0<x<10 ce qui est assez évident. On regarde à la moitié de l'intervalle, c'est à dire pour x=5. 2⁵=32<100, comme la fonction x -> 2^x est strictement croissante on sait donc que 5<x<10.
Normalement on coupe en deux l'intervalle à chaque étape mais on va essayer de retarder un peu l'arrivé des nombres fractionnaires en remarquant que 2⁶=64 et 2⁷=128 donc 6<x<7.

Bon maintenant on essai 6,5, mais l'écrire sous forme décimale est voué à l'échec, mieux vaut l'écrire 6,5=13/2 et donc on veut comparer 2^13/2 à 100 ce qui revient à comparer 2¹³=8192 à 100²=10000. Donc 2¹³<100² et donc 6<x<6,5.
On recommence en essayant pour x=25/4 c'est à dire de comparer 2²⁵ avec 100⁴. Cette méthode va vite finir par faire calculer des nombres franchement grands, mais ils ne sont pas extrêmement durs à calculer et si ce n'est que pour quelques décimales c'est assez rapide.

[The_Anonymous]

Merci pour ces deux excellentes techniques que j'ai cette fois comprises

Méthode par le théorème gg0 :

On cherche petit à petit la valeur de pour quelle se rapproche de 1000 :

On obtient précisément 9.9658 (merci mon petit esclave calculateur) et donc Log(2) .

Méthode par le théorème S321 :

On continue ainsi jusqu'à comparer , ce qui est donc assez précis!

(Bien sûr vous n'avez pas fait de théorème, c'était juste comme ça )

Merci énormément pour cette technique, avec vous, je comprends bien!

Chaleureusement (Oh God, un autre adverbe que cordialement )

Brazeor

[S321]

(Bien sûr vous n'avez pas fait de théorème, c'était juste comme ça )

L'approximation d'une solution d'une équation par dichotomies successives c'est un théorème.

Pourvu qu'on ai un encadrement a₀≤x≤b₀ d'une solution x et que la fonction soit strictement monotone dans cet encadrement alors on peut construire par récurrence des suites (a_n) et (b_n) telles que :
a_n≤x≤b_n et |a_n-b_n|=|a₀-b₀|/(2ⁿ)

La méthode consistant à vérifier si x est dans la première ou la deuxième moitié du segment [a_n;b_n] et de définir alors a_n+1 et b_n+1 de manière à ce que le nouveau segment soit la moitié en question.

(a_n) et (b_n) vont converger vers notre solution x de plus l'écart est divisé par deux à chaque itération. Il s'agit bien d'un théorème. Je ne l'avais pas démontré à mon post précédent, simplement appliqué.

, ce qui est donc assez précis!

Le "donc" est faux ici. Cette égalité ne démontre pas que votre approximation est suffisante. Ce qu'on vous a demandé c'est une approximation du résultat à 0.0001 près. Donc pour être sûr que votre réponse est suffisante il vous faut trouver un encadrement a<x<b telle que |a-b|<0.0001.
La méthode par dichotomies permet de justifier d'un tel encadrement. C'est dommage de seulement donner le résultat sans démontrer de sa correction, surtout quand on l'a sous la main. Vous devriez pouvoir dire à un moment 6.6438<x<6.6439 ce qui est finalement plus précis que ce que vous avez écrit.

De plus donner encore d'autres chiffres significatifs est hors de propos. C'est un tort qu'on retrouve de plus en plus chez les jeunes physiciens par exemple. Comme faire des calculs avec pleins de chiffres significatifs est très facile. Par exemples ils effectuent des mesures dont la précision ne permet d'obtenir que trois chiffres significatifs. Après ils font des calculs avec ça et donne un résultat ayant quinze chiffres... mais les douze derniers sont tout simplement faux et ne correspondent absolument pas à la réalité de la grandeur.
Dans tous les cas, lorsqu'on obtiens une valeurs approchée, il est préférable de définir l'intervalle dans lequel elle vie plutôt que de simplement donner des dizaines de chiffres dont les trois quarts ne sont pas significatifs.

[The_Anonymous]

Eh bien! Je ne connaissais pas ce théorème... Intéressant, je pense qu'on devrait avoir les capacités de le comprendre.. En tous cas merci

Quant au calcul, il est vrai que je n'ai pas entouré la valeur x de deux réels, mais que j'ai donné une valeur, une valeur aux décimals correctes mais qui n'apportent rien...

J'ai préféré utiliser la méthode de gg0 comme j'avais des autres calculs avec Log(2) (à calculer), je ne suis pas vraiment allé jusqu'au bout...

Merci pour correction claire et précise!

Cordialement