Progression arithmétique

[Bouti10]

Ceci est un exercice de terminale S et je rencontre quelques difficultés à le résoudre
Voici l'énoncé :
Déterminer les angles d'un triangle, sachant qu'ils sont en progression arithmétique et que le produit de leurs cosinus est k.

Pour résoudre l'exercice, j'ai commencé par prouver que la raison de la progression appartient à ]0,60[
Ensuite j'ai nommé les trois angles : x , x+a, x+2a où a est la raison.
Par contre pour continuer, je n'arrive pas à donner une expression pour k...

Auriez vous une petite idée pour continuer?
Merci
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[PA5CAL]

Boujour

j'ai nommé les trois angles : x , x+a, x+2a

le produit de leurs cosinus est k.

⇔ cos(x)·cos(x+a)·cos(x+2a) = k


Par ailleurs, les trois angles d'un triangle sont liés entre eux...

Merci

De rien

[Bouti10]

Merci PA5CAL

Par la suite je dois déterminer entre quelles limites peut varier k.
Est ce possible avec l'expression

cos(x)·cos(x+a)·cos(x+2a) ?

Merci

[gg0]

Bonjour.

Oui, bien sûr c'est possible. Mais il vaudrait mieux commencer à utiliser les remarques de Pa5cal.

Moi, j'aurais noté x le deuxième, donc les angles sont x-a, x et x+a; x est très facile à trouver, il ne reste qu'à trouver a.
La condition cos(x-a)·cos(x)·cos(x+a) = k donne une équation en cos(a)qui se résout bien et donne aussi les valeurs possibles pour k.

Mais il va falloir t'y mettre ....

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bigfood]

Bonjour.

Oui, bien sûr c'est possible. Mais il vaudrait mieux commencer à utiliser les remarques de Pa5cal.

Moi, j'aurais noté x le deuxième, donc les angles sont x-a, x et x+a; x est très facile à trouver, il ne reste qu'à trouver a.
La condition cos(x-a)·cos(x)·cos(x+a) = k donne une équation en cos(a)qui se résout bien et donne aussi les valeurs possibles pour k.

Mais il va falloir t'y mettre ....

Cordialement.

Bonjour,

Voilà j'ai essayé de résoudre ce problème avec les indications que vous avez donnez ... Mais je bloque. Je ne vois pas comment l'attaquer.
Pouvez vous me dire comment résoudre l'équation suivante : cos(x-a)·cos(x)·cos(x+a) = k ?
J'ai essayé avec les formules d'additions mais ça va trop loin et je bloque ...

Bien à vous.
Merci

[gg0]

Non,

avec les formules d'addition ça ne va pas du tout loin. Attention, ici x n'est pas une inconnue, c'est même une valeur évidente (progression arithmétique).

Donc :
1) détermine x
2) traite l'équation en cos pour trouver une équation simple d'inconnue cos(a)
3) résous pour trouver cos(a), puis éventuellement a (a<x).

Bon travail !

[bigfood]

Voila j'ai réessayé mais rien je bloque toujours ...
Pouvez vous me remettre sur une piste s'il vous plait ?

Merci

[gg0]

1) tu as la piste
2) tu ne présentes aucun calcul, même pas la valeur évidente de x

De là à penser que tu ne fais rien mais que tu attends qu'on le fasse à ta place, contrairement aux règles du forum ...

[bigfood]

Ah oui désolé alors voilà à quoi j'arrive:

cos(x-a).cos(x).cos(x+a)=k
[cos(x).cos(a)+sin(x).sin(a)].cos(x).[cos(x).cos(a)-sin(x).sin(a)]=k

[cos²(x).cos(a)+cos(x).sin(x).s in(a)].[cos(x).cos(a)-sin(x).sin(a)]=k

[cos³(x).cos²(a).{-sin(x).sin(a)}]-[cos²(x).sin²(x).sin²(a).sin(x)]=k

ensuite je bloque ...

[PA5CAL]

Avant de te lancer dans de longs calculs, peux- tu exprimer le fait que les trois angles (x-a), x et (x+a) appartiennent à un triangle ?

[PA5CAL]

Après, pour ton calcul, on peut :

- commencer par ne développer que :
cos(x-a).cos(x+a) = [cos(x).cos(a)+sin(x).sin(a)].[cos(x).cos(a)-sin(x).sin(a)]

- utiliser l'identité remarquable (A+B).(A-B)=A²-B² :
... = cos²(x).cos²(a)-sin²(x).sin²(a)

- utiliser la propriété cos²A+sin²A=1 :
... = cos²(x).[1-sin²(a)]-[1-cos²(x)].sin²(a)

- développer :
... = cos²(x)-cos²(x).sin²(a)-sin²(a)+cos²(x).sin²(a)

- et enfin simplifier :
... = cos²(x)-sin²(a)

En multipliant par cos(x) on trouve : cos³(x)-cos(x).sin²(a) = k

[bigfood]

Avant de te lancer dans de longs calculs, peux- tu exprimer le fait que les trois angles (x-a), x et (x+a) appartiennent à un triangle ?

Je pense que oui... J'ai exprimé ca en disant: x-a+x+x+a = 180°
Ensuite j'ai trouvé que que 3x=180°
Enfin x=60°

Mais je pense que je suis à coté de la plaque ...

[PA5CAL]

Mais je pense que je suis à coté de la plaque ...

Et pourquoi donc ? Le fait de ne pas être sûr de soi ne signifie pas qu'on se trompe.

En l'occurrence, ta réponse est exacte.

Tu fais la suite ?

[bigfood]

Et pourquoi donc ? Le fait de ne pas être sûr de soi ne signifie pas qu'on se trompe.

En l'occurrence, ta réponse est exacte.

Tu fais la suite ?

Merci beaucoup pour les indications ...
Oui j'ai continué. Je suis arrivé aux conditions à poser sur k.
-1/8<=k<=1/8
C'est bien ça ?

Bien à vous
Merci

[gg0]

Pa5cal,

Bigfood a gagné ! Tu lui as fait le calcul qu'il était incapable de faire (voir la ligne [cos³(x).cos²(a).{-sin(x).sin(a)}]-[cos²(x).sin²(x).sin²(a).sin(x)]=k qui montre qu'il n'est pas capable de multiplier sérieusement une somme par une somme !!!).

Bigfood :
"Je suis arrivé aux conditions à poser sur k.
-1/8<=k<=1/8"
Ce n'est manifestement pas correct. prends a=59°.

Cordilement.

[PA5CAL]

Bigfood a gagné ! Tu lui as fait le calcul qu'il était incapable de faire

Vu que ça fait trois jours qu'il est dessus, lui fournir un exemple commenté de ce qu'il faut faire lui sera certainement plus utile que d'espérer qu'il apprenne tout seul à mener un calcul correct.

Après, libre à lui de faire l'effort de comprendre, d'en tirer les leçons puis de s'exercer a minima, afin de pouvoir traiter les prochains problèmes du même type « les doigts dans le nez », sans avoir encore à « galérer » comme maintenant.

À un moment, il faut prendre conscience que les exercices n'ont pas pour but d'obtenir un bon résultat, mais d'apprendre et de s'entraîner à traiter un problème, pour devenir plus intelligent.

Je suis arrivé aux conditions à poser sur k.
-1/8<=k<=1/8

Peux-tu nous détailler le raisonnement qui t'a amené à ce résultat ?

[gg0]

ui fournir un exemple commenté de ce qu'il faut faire

Tiens, je ne connaissais pas cet euphémisme "exemple commenté de ce qu'il faut faire" pour "corrigé".

libre à lui de faire l'effort de comprendre, d'en tirer les leçons puis de s'exercer a minima

Quelqu'un qui ne sait pas développer le produit de deux différences (probablement parce qu'il n'a même pas vu de quoi il s'agissait) ? Tu y crois vraiment ?
Il y a une grosse différence entre faire et voir faire, entre concevoir et copier, et même entre trouver seul et imiter.
Moi j'ai vu se développer les "copieurs de maths" d'abord en collège vers 1980-90, puis maintenant en lycée voire en université (voir le forum du supérieur). A l'évidence, donner des corrigés ne forme que ceux qui veulent faire et qui ont fait à tous les niveaux. On en est arrivé à une situation où une bonne partie des élèves de terminales scientifiques sont incapables de faire un devoir de seconde générale de 1990 (sur les parties communes aux programmes actuels de seconde première et aux programmes de seconde de l'époque).

Mais tu as fait un heureux : il y a une petite partie de son travail dont il est sûr !

Cordialement.

[bigfood]

Vu que ça fait trois jours qu'il est dessus, lui fournir un exemple commenté de ce qu'il faut faire lui sera certainement plus utile que d'espérer qu'il apprenne tout seul à mener un calcul correct.

Après, libre à lui de faire l'effort de comprendre, d'en tirer les leçons puis de s'exercer a minima, afin de pouvoir traiter les prochains problèmes du même type « les doigts dans le nez », sans avoir encore à « galérer » comme maintenant.

À un moment, il faut prendre conscience que les exercices n'ont pas pour but d'obtenir un bon résultat, mais d'apprendre et de s'entraîner à traiter un problème, pour devenir plus intelligent.

Peux-tu nous détailler le raisonnement qui t'a amené à ce résultat ?

Oui biensur,

cos³(x) - cos(x).sin²(a) = k
x=60°

cos³(60°) - cos(60°).sin²(a)=k
cos(60°)=1/2

(1/2)³- (1/2).sin²(a)=k

k-(1/8)= -(1/2).sin²(a)

-2.[k-(1/8)]=sin²(a)

-2k+(1/4) = sin²(a)

sin(a)= +/-[-2k+(1/4)]^(1/2)

C.E: -2k+(1/4)>=0
-2k>= -(1/4)
-k>= -(1/8)
k<= (1/8)

et avec le signe - devant la racine je me suis dit qu'il fallait prendre -(1/8)... Mais je ne suis pas sur ...

donc : -(1/8)<=k<=(1/8)

[PA5CAL]

–1/8 ≤ k ≤ 1/8 est une condition nécessaire, mais est-elle suffisante ?

Comment tenir compte de la relation faisant intervenir sin(a) ?

Penses-tu qu'un choix arbitraire du triangle de l'énoncé puisse conduire à prendre n'importe quelle valeur de a au départ ? Quelle incidence cela a-t-il sur la valeur de k ?

[bigfood]

–1/8 ≤ k ≤ 1/8 est une condition nécessaire, mais est-elle suffisante ?

Comment tenir compte de la relation faisant intervenir sin(a) ?

Penses-tu qu'un choix arbitraire du triangle de l'énoncé puisse conduire à prendre n'importe quelle valeur de a au départ ? Quelle incidence cela a-t-il sur la valeur de k ?

Ah oui j'avais complétement oublié cette condition...

a doit être strictement positif ?
donc : 0<k<=1/8

[PA5CAL]

Oups... c'est moi qui ai fait une faute d'inattention. Ta relation –1/8 ≤ k n'est pas correcte.

k ≤ 1/8 est la seule condition nécessaire résultant de la relation -2k+(1/4) = sin²(a)

L'indétermination du signe de la racine s'applique seulement à la valeur de sin(a), et n'a pas d'incidence sur k (on peut changer a en -a, on ne change pas le problème).

En levant les interrogations formulées ci-dessus (post #19), tu verras qu'on peut s'autoriser des valeurs de k inférieures à -1/8.

[gg0]

Rappel :

Pour x=59°, on a k=cos(1°)cos(60°)cos(119°) qui vaut environ -0,24.

La relation k=1/8-1/2sin²(a) utilisée directement avec les variations possibles de a donne immédiatement l'encadrement de k.

Il ne sert à rien de calculer, il faut aller directement aux calculs utiles. ici c'est k qu'on étudie !

Cordialement.

[PA5CAL]

Pourrais-tu déduire une autre condition résultant de la relation -2k+(1/4) = sin²(a) ?

[bigfood]

Pourrais-tu déduire une autre condition résultant de la relation -2k+(1/4) = sin²(a) ?

En remettant en 1-cos²(a) ?

cos²(a)= 1+2k-(1/4)

cos²(a)= 2k+(3/4)

cos(a)= +/- [2k+(3/4)]

C.E:
2k+(3/4)>=0
k>= -(3/8)

C'est bien ca ?

[PA5CAL]

Non, toujours pas.

La seule propriété que tu utilises, c'est que le carré d'un nombre est positif ou nul.

Or, ce n'est pas la seule contrainte sur k résultant de l'égalité -2k+(1/4) = sin²(a) .

Tu n'as toujours pas donné d'indication sur les valeurs possibles de a . Par exemple, est-ce qu'on pourrait avoir a=100° ? Pourquoi ? Que peux-tu en déduire concernant l'égalité ci-dessus ?

gg0 a fait une remarque plus qu'intéressante. Et comme il dit, il est inutile de te relancer dans des calculs longs et compliqués, parce que tu es à deux doigts de la solution.

[bigfood]

]

Non, toujours pas.

La seule propriété que tu utilises, c'est que le carré d'un nombre est positif ou nul.

Or, ce n'est pas la seule contrainte sur k résultant de l'égalité -2k+(1/4) = sin²(a) .

Tu n'as toujours pas donné d'indication sur les valeurs possibles de a . Par exemple, est-ce qu'on pourrait avoir a=100° ? Pourquoi ? Que peux-tu en déduire concernant l'égalité ci-dessus ?

gg0 a fait une remarque plus qu'intéressante. Et comme il dit, il est inutile de te relancer dans des calculs longs et compliqués, parce que tu es à deux doigts de la solution.

a doit vairer entre ]0°;120°[ ? et sin(a)= [-1;1] ?

Je suis sur la bonne voie ?

Mais je n'ai pas trés bien compris le rappel qu'a fait gg0

""Pour x=59°, on a k=cos(1°)cos(60°)cos(119°) qui vaut environ -0,24.

La relation k=1/8-1/2sin²(a) utilisée directement avec les variations possibles de a donne immédiatement l'encadrement de k.

Il ne sert à rien de calculer, il faut aller directement aux calculs utiles. ici c'est k qu'on étudie !""

Pourquoi x= 59° alors qu'on a trouvé que x valait 60° ?

[PA5CAL]

a doit vairer entre ]0°;120°[ ? et sin(a)= [-1;1] ?

Non.

Pourquoi x= 59° alors qu'on a trouvé que x valait 60° ?

Il a juste fait une petite erreur d'écriture. Il fallait lire « a = 59° »

Je te rappelle que x-a , x et x+a sont les trois angles d'un triangle, et qu'on a déterminé que x=60° . Tu as déjà vu un triangle avec un angle négatif ???

[gg0]

effectivement,

je suis désolé, j'ai mélangé x et a, mais la relation qui suit parle bien des trois angles d'un triangle en progression arithmétique.

Je prétends toujours que regarder k= .. est plus simple que de regarder cos²(a)= ... pour savoir ce que vaut k. d'autant qu'on connaît les valeurs possibles de a.

Cordialement

[bigfood]

Non.
Il a juste fait une petite erreur d'écriture. Il fallait lire « a = 59° »

Je te rappelle que x-a , x et x+a sont les trois angles d'un triangle, et qu'on a déterminé que x=60° . Tu as déjà vu un triangle avec un angle négatif ???

Ça y est je pense avoir compris ... a se situe sur l'intervalle ]0°;60°[ ?
Donc le sinus(a) doit être strictement plus grand que 0 et strictement plus petit que (\^3)/2 ?

[PA5CAL]

Ok. Et que peux-tu en déduire concernant k ?