Exercice algorithme + suites

[dra.dra.style]

Bonjour,

J'ai un exercice avec un algorithme en rapport avec les suites et je peine vraiment ( les suites + un algorithme je n'y arrive vraiment pas )

Exercice :

(u_n)_n est la suite définie par u₀=2 200 et, pour tout entier naturel n, u_n+1=0,5u_n+100
1. Le programme joint calcule et affiche u₀, u₁, u₂,... ,u_n. Compléter ce programme. Déterminer les cinq premiers termes de la suite.
2. (v_n)_n est la suite définie sur par v_n=u_n-200. Modifier le programme de telle façon que les termes v₁, v₂, ..., v_n soient également affichés. Calculer les 5 premiers termes.
3. Emettre une conjecture sur la nature de la suite (v_n)_n.
4. Démontrer cette conjecture.


Programme de l'exercice :


VARIABLES
n EST_DU_TYPE NOMBRE
i EST_DU_TYPE NOMBRE
u EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE n
u PREND_LA_VALEUR...
POUR i ALLANT_DE 1 A n
DEBUT_POUR
u PREND_LA_VALEUR...
AFFICHER u
FIN_POUR
FIN-ALGORITHME

Je suis complètement perdu les algorithme je peine vraiment (étant en S c'est un problème). Pouvez vous m'aider pour que je puisses réussir ce genre d'exercice à l'avenir ?
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[Samuel9-14]

Salut !
1) Compélter le programme consiste en fait à compléter les points de suspension (je précise parce que j'ai buggé sur la question ^^)

Pour le premier, on initialise u, c'est-à-dire qu'on lui donne une valeur de départ pour faire fonctionner l'algorithme. Or u correspond à la suite (U_n), donc la valeur de départ est...

Pour le deuxième, c'est la valeur que va prendre U_n+1,"de 1 à n" signifie que l'on répète la manipulation pour 1, puis 2, puis 3, ..., puis n. C'est plus globalement la manip' principale : celle qui calcule les valeurs de U_n.

On fera les autres après, mais pour Vn il s'agit juste de rajouter la variable v, la valeur de départ de v, le calcul de v (v prend la valeur...) puis d'afficher v, le tout dans le bon ordre.

[dra.dra.style]

désolé je n'avais pas vu la réponse avant :/
ah oui d'accord moi non plus je ne pensais pas à ça je pensais qu'il fallait ajouter des "lignes" dans l'algo.
- la valeur de départ est 2 200
- et pour le deuxième 0,5*u+100
C'est ça ?

[Samuel9-14]

C'est ça

Pour Vn, comme je le disais, il suffit de rajouter des lignes identiques en adaptant pour la suite Vn.

[A voir en vidéo sur Futura]

[dra.dra.style]

oh trop bien je crois que je me compliquais la vie c'est assez simple en fait
ensuite on fait :

VARIABLES
n est_du_type nombre
i est_du_type nombre
u est_du_type nombre
v est_du_type nombre
DEBUT_ALGORITHME
LIRE n
LIRE v
v prend_la_valeur 2 000 (=> v0=u0-200=2 000)
pour i allant_de 1 a v
v prend_la_valeur u-200
u prend_la_valeur 2 200
pour i allant_de 1 a n
debut_pour
u prend_la_valeur 0,5*u+100
afficher u
fin_pour
fin_pour
FIN_ALGORITHME

J'ai écris en rouge ce que j'ai modifié. Est ce que c'est bon ? la je ne suis pas sure par contre .. :/

[Samuel9-14]

Oulah en effet. Dans un algo il y a trois phases : Initialisation, traitement et conclusion (enfin conclusion, c'est juste afficher la valeur que l'on souhaite).

Là tu mélanges un peu tout.
v est une variable, il n'y a donc pas de "lire v", c'est ce qu'on cherche !
Ensuite, on initialise.
Lire n
u prend la valeur...
v prend la valeur...
Puis on traite :
Pour i allant de 1 à n (d'où vient ce "pour i allant_de 1 a v" ? C'est complètement faux ! Une suite existe pour certains entiers, ceux qui vont de 1 à n, on cherche à calculer les différents termes, de 1 à n.)

u prend_la_valeur 2 200
v prend_la_valeur u-200
J'ai interverti les deux, il faut d'abord avoir u pour calculer v !
Ensuite il faut afficher u et v, puisqu'on veut voir les deux s'afficher !
Et un seul "finpour" suffira, il répond en fait au "pour i allant de 1àn)

Est-ce que tu comprends mieux ?

[dra.dra.style]

oula oui en effet j'ai tout mélangé je peine vraiment avec les algorithmes... si j'ai bien compris ça donne :

VARIABLES
n EST_DU_TYPE NOMBRE
i EST_DU_TYPE NOMBRE
u EST_DU_TYPE NOMBRE
v EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE n
u PREND_LA_VALEUR 2 200
v PREND_LA_VALEUR 2 000
POUR i ALLANT_DE 1 A n
DEBUT_POUR
u PREND_LA_VALEUR 0,5*n-200 (=> c'est ce qu'on a écris pour la première question)
v PREND_LA_VALEUR u-200
AFFICHER u
AFFICHER v
FIN_POUR
FIN_ALGORITHME

La si c'est pas bon je sais pas ou j'ai pu me tromper ..

[Samuel9-14]

"u PREND_LA_VALEUR 0,5*n-200 (=> c'est ce qu'on a écris pour la première question)"
Non on avait écrit : u PREND_LA_VALEUR 0,5*u-200

Mais sinon je suis d'accord ! (J'espère que je ne me trompe pas, parce que je ne suis pas un spécialiste des algos ^^)

Du coup tu n'as plus qu'à faire fonctionner l'algorithme pour conjecturer sur le sens de variations de v (ou sinon tu fais à la main...)

[dra.dra.style]

oui je me suis trompé de lettre désolé
Si vous vous êtes trompé ce n'est pas très grave je demanderai une explication à ma prof
par contre je n'ai jamais vu ça en cours le "sens de variation d'une fonction" mais je vais essayer par rapport à mon livre qui explique assez bien j'essaie et je vous dis ce que j'ai trouvé dès que j'ai fini

[dra.dra.style]

JE ME SUIS TROMPE D'UNE LA VARIATION D'UNE SUITE désolé

[Samuel9-14]

La variation d'une suite, c'est juste savoir "si elle descend" ou "si elle monte". Si v5>v4>v3>v2>v1>v0 tu peux conjecturer qu'elle est décroissante

[dra.dra.style]

u0=2200 u1=0,5*2200-100=1200 u2=0,5*1200-100=700 u3=0,5*700-100=450 u4=0,5*450-100=325
v0=2200-200=2000 v1=1200-200=1000 v2=700-200=500 v3=450-200=250 v4=325-200=125

Conjecture: la suite (vn)n est décroissante ? mais comment la démontrer ?

[Samuel9-14]

Ta conjecture est bonne. Tu dois avoir des méthodes dans ton cours pour déterminer si une suite est croissante ou pas (genre Vn+1-Vn...)

[dra.dra.style]

je l'ai pas dans mon cours mais dans mon livre et je crois avoir compris. Mais par contre si cela ne vous dérange pas je le ferai demain car je peine à rester les yeux ouvert
Bonne soirée

[Samuel9-14]

Haha pas de problème

[dra.dra.style]

bon alors je reprends : on veut v_n+1-v_n
v_n=u_n-200
et je pensais à v_n+1=u_n+1-200
=0,5*u_n+100-200
si c'est bon après ça donne v_n+1-v_n=0,5*u_n+100-200-u_n-200
=0,5u_n-u_n-300
=-0,5u_n-300
et du coup c'est bon non ? ça démontre bien ma conjecture ?

[Samuel9-14]

Alors, tu as fait une erreur de signe, le calcul est Vn+1-(Vn), soit 0,5*un+100-200-(un-200). Tu as oublié les parenthèses, et ça change tout
D'autant que là, on ne sait pas si Vn+1-Vn est négatif ou positif (signe de Un ?)

[dra.dra.style]

a oui j'ai pas fait attention :/. Du coup ça donne : 0,5un+100-200-(un-200)
0,5un+100-un
-0,5un+100
C'est mieux là ?
Ensuite il faut que je fasses quoi ? parce que la ça ne démontre rien si ?

[Samuel9-14]

Ok, maintenant il faudrait que tu montres que c'est toujours négatif comme nombre.

[Samuel9-14]

Ps : Mince, je t'ai envoyé sur une fausse psite en fait...
Tu pourras pas trouver le signe de Vn+1-Vn (désolé ^^). En revanche que peux-tu remarquer pour la suite Vn ? Par exemple pour passer d'un terme à l'autre...

Désolé pour le temps perdu, j'ai pas regardé assez attentivement ^^

[dra.dra.style]

je viens de voir tes messages (c'est bon je n'avais pas commencé ) ok mais du coup on se rend compte que l'on diminue de moitié à chaque fois mais du coup il faut que j'écrive ce que l'on a mis avant (avec vn+1-vn) ou est ce que je met juste que l'on diminue de moitié et 2000>1000>500>250>175 donc décroissante ?

[Samuel9-14]

Tu ne connais pas les suites géométriques / arithmétiques ?

[dra.dra.style]

ah si donc en fait il fallait conjecturer que la suite est soit géométrique soit arithmétique et le prouver ?

[Samuel9-14]

Franchement je t'avouerais que j'ai moi-même quelques doutes. Tu peux sans doute prouver qu'elle est géométriques (Vn+1)/Vn = constante. Ensuite tu utilises la formule qui te permet de passer à une formule explicite (en fonction de n). Et tu trouves la limite facilement.
je ne vois que cette méthode.

[dra.dra.style]

oula oula on se calme je ne sais même pas a quoi correspond la limite : je n'ai jamais fais ça dans mon cours on a mis : pour prouver qu'une suite u est géométrique on peut démontrer que le quotient un+1/un est constant. On a jamais parlé de limite

[Samuel9-14]

Ps : pour démontrer que Vn est géométrique, tu peux aussi partir de Vn+1 = 0.5Un+100-200 et arriver à Vn+1=constante*Vn (très facile en procédant comme ça d'ailleurs).

[dra.dra.style]

j'ai quelque chose à proposer :
v4-v3=125-250=-125 et v1-v0=1000-2000=-1000 du coup on sait qu'elle n'est pas arithmétique elle est donc géométrique et pour passer de v0 a v1 on multipli par 0,5 pareil pour passer de v1 a v2 ou v2 a v3 ou v3 a v4 donc on a une raison q=0,5 est ce que se serait possible ou je suis complètement a l'ouest (pour moi c'est logique mais peut etre que c'est complètement à coté de la plaque ... :/)

[gg0]

du coup on sait qu'elle n'est pas arithmétique elle est donc géométrique

Absurde !!
la suite 1,4,9,16,...,(n-1)², n², (n+1)², ...
"on sait qu'elle n'est pas arithmétique elle est donc géométrique" ??? Tu y crois ???

[Samuel9-14]

Une suite peut être ni géométrique, ni arithmétique !
Pour montrer qu'elle est géométrique tu peux utlisier deux méthodes :
Soit V_n+1/V_n. Si tu trouves une constante, alors elle est géométrique (si le rapport entre le rang supérieur et le rang inférieur est constant, alors pour passer d'un terme au terme supérieur on a multiplié par une constante, c'est donc géométrique).

Soit tu pars de V_n+1=U_n+1-200
Et à force de calcul tu arrives à V_n+1=q*V_n où q est la raison.

Ici tu as déjà trouvé la raison (0,5) mais tu ne l'as pas démontré, tout comme tu n'as pas démontré que la suite est géométrique (mais en connaissant la raison, la deuxième méthode que je te propose est super simple, elle m'a pris trois petites lignes).

[dra.dra.style]

pas besoin de s'énerver en disant absurde ... je peux faire des erreures le tout est que je comprenne il suffit d'expliquer ...
je pense que je vais tenter la deuxieme solition: partir de vn+1=un+1-200 mais par contre en remplaçant on tombe sur 0,5un+100-200 mais comment tu tombe sur vn+1=q*vn?