Problème sur les matrices

[Nicolas.L]

Salut à tous,
Je viens susciter votre aide suite à un problème rencontré en cours de spécialité math. Je m'explique en détail, ce matin nous avons fait le sujet de Pondichery de spé et en gros à la fin on avait cette expression: (voir image)

L'idée de la question de l'exo est de faire la limite de Un lorsque n tend vers plus l'infinie, pour ce faire on fait le produit des deux matrices et après seulement on fait la limite.
Mais j'ai remarqué que si on fait la limite directement de Aⁿ puis qu'on multiplie cela par U₀ on retrouve le bon résultat: on est pas obligé de "s’embêter" avec un produit matriciel avec du n.
En gros que :
Mon prof m'a dit que c'était hors programme et qu'on nous imposer de calculer d'abord U_n avant de faire la limite.
Alors je vous demande simplement, de quoi découle ce théorème? Comment démontrer cette propriété?
Merci d'avance
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[Nicolas.L]

D'après mon prof cela relève d'espace vectoriel et d'espace vectoriel topologique. Pourrais-je avoir plus de détail s'il vous plait?

[gg0]

En fait, c'est assez simple.

U₀ est une constante. C'est à dire que ses composantes sont des constantes. En revenant à la définition du produit matriciel, tu pourras sans difficulté montrer que si A_n est une suite de matrices qui a une limite finie (chaque composante a une limite finie) notée A, alors A_nU₀ a une limite finie qui est AU₀. Tu verras que l'on n'utilise que les propriétés élémentaires sur les limites finies sur les suites de réels.
Fais la preuve avec des matrices 2x2, le cas général se fait de la même façon.

Cordialement.

[Nicolas.L]

Merci de la réponse.
Ah oui je vois, c'est très simple à comprendre, mais je ne vois pas trop comment expliquer rigoureusement le cas général? (Même si ce n'est pas à mon programme cela me trotte dans la tête)
Mon prof m'a expliqué que le cas général se faisait en math spé, pourquoi si tard?
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Tu sais,

on fait peu de choses en lycée.
Traiter le cas général n'est pas difficile, seulement long à écrire, avec des notations pénibles des coefficients des matrices. par exemple on va appeler u_i les composantes de U₀, et a⁽ⁿ⁾_ij celles de An.
a⁽ⁿ⁾_ij tend vers une limite finie a_ij . Il reste à calculer les composantes de AU₀ puis celles de A_nU₀ et montrer que leur limite est la bonne. Pas de difficulté technique, simplement une bonne page d'écritures avec des indices !
Tout ça pour une propriété qui n'est qu'un cas particulier d'une théorie générale vue en L1/l2 ou en prépa.

Mais tu peux faire le travail pour ton plaisir.

Cordialement.

[Nicolas.L]

Je vois, l'année prochaine je vais en prépa à la rentrée dans le but de continuer dans les maths après (L'ENS serait le rêve mais bon c'est encore dans longtemps).
Quel est le nom de cette théorie générale vue en L1/L2?
Merci beaucoup en tout cas
Cordialement

[gg0]

C'est l'algèbre linéaire. On peut voir ça soit dans les espaces vectoriels normés (cas particulier dimension finie), soit en topologie avec les espaces métriques.

Si tu es de bon niveau, rédige cette preuve.

[Nicolas.L]

Preuve rédigée pour n=2, vraiment très simple en fait, je vais m'atteler au cas général maintenant.
Merci beaucoup pour toutes ces réponses.
Cordialement

[Nicolas.L]

Preuve rédigé pour le cas général, merci beaucoup pour tout.
Cordialement