Applications linéaires sur la droite des réels

[The_Anonymous]

Bonsoir à tous! =D

J'ai un problème sur les applications linéaires :

Détermine toutes les applications linéaires de dans .

Je vois le genre de réponse, mais je ne sais pas trop quel nom mettre dessus...

Je pensais à l'application qui faisait correspondre, à un nombre sur , ce nombre multiplié d'un coefficient. Seulement, je ne sais pas trop comment appeler ça... Est-ce une translation de vecteur directeur le coefficient ou plutôt une homothétie? Y a-t-il d'autre(s) application(s) liméaire(s) de dans ?

Merci de toute réponse

Cordialement
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[Seirios]

Bonjour,

Les applications du type sont appelées applications linéaires, ce qui tombe très bien puisque ce sont les seules applications linéaires . Pour le montrer, il suffit de remarquer que pour toute application linéaire , on a .

Sinon, on peut effectivement voir les applications linéaires comme des homothétie de centre 0, mais en pratique on les appelle jamais de cette manière (faire de la géométrie sur la droite réelle, c'est plutôt limité...).

[The_Anonymous]

Merci beaucoup pour votre réponse!

Cela confirme ce que je pensais (tant mieux!), en fait, il n'y a simplement pas d'autre nom pour ces applications à part simplement le nom d'application linéaire!

Je comprends le sens de votre démonstration, pour reformuler pour assurer que j'ai bien compris, on dit donc que pour toute transformation g de R dans R, on a que l'image de tout point de R est g(x) = g(1*x) = x* g(1) = ax (en posant ).

On a donc finalement l'ensemble des applications linéaires de R dans R :

Toute transformation f tel que :

(Oui j'ai mis la petite flèche avec le petit trait au bout mais la commande ne marche pas en LaTeX!)

Merci encore une fois énormément pour votre aide!

Cordialement