Comprendre la diférentielle.

[Lucien-O.]

Bonjour,
J'aurais besoin d'un coup de pouce pour comprendre la notion de différentielle.

Je sais que la notion est abordée lorsque l'on apprend à calculer une intégrale par la méthode de substitution. Pour cette méthode, j'ai mis un certain temps avant d'avoir le déclic.
J'ai finalement compris qu'elle amène à intégrer, entre des bornes différentes, des fonctions différentes, de sorte que leurs intégrales se valent.
On a donc une première fonction : g(y)
Et une seconde fonction g[f(x)] . f '(x)
Tout va bien de ce coté là je crois,...

Je ne comprends plus où l'on va dés lors que l'on cherche à établir un lien entre dy et dx.
Je sais (parce qu'on me l'a dit et parce que j'en observe les conséquences sur les intervalles d'intégrations) que dy= f '(x) . dx

Cependant, je ne vois pas de lien entre dx (que je considère comme une différence d'abscisse dans notre première fonction) et dy (que je conçois comme une différence d'abscisse dans la seconde fonction).

Mon cours démontre cela en 4 étapes :

1. Sur un graphique : Δy = F(x +Δx) – f(x)
2. Nous savons que que, lorsque Δx tend vers 0 : (Δy)/(Δx) = f ‘(x)
3. Si nous choisissons les points d’abscisses x et (x+Δx) de la droite tangente au graphique et dy la différence d’ordonnée de ces deux points, alors : f ‘(x) = dy/Δx , Soit : f ‘(x) . Δx = dy (1)
4. En particulier, si f est la fonction identique : x -> x.
Nous avons : f ‘ (x) = 1 et y=x d’où dx=Δx (ceci, je n’en perçois pas la nuance, forcément dx=Δx,…a=a !)
L’égalité (1) s’écrit alors dy= f ‘(x) dx

Bon, tout ceci semble tomber sous le sens (à part le dx=Δx,…), j’ai compris la manœuvre je pense,… Mais cette démonstration n’a rien à voir avec ce que j’ai en tête.
Je cherche le rapport que dy entretient avec dx en sachant que dy est, à mes yeux, une différence d’abscisse dans le graphe g(y) et dx une différence d’abscisse dans le graphe g[f(x)] . f ‘(x)… Pourquoi alors le dy que je trouve avec cette démo est-il une différence d’ordonnée entre deux points de la tangente ?! Le dy que l’on trouve me semble sans rapport avec le dy de g(y).dy !! (Je me trompe complètement j’imagine,…)

Bref, je ne suis vraiment pas inspiré et un peu perdu avec ces notions.
Désolé du pavé et merci à ceux qui répondront ! (Merci d’avoir lu déjà !)
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[gg0]

Bonjour.

Tout ceci est assez formel, donc sans signification particulière (dans ce cadre). Et tu te laisses troubler simplement parce que tu mets des significations là où il n'y en a pas : "dx (que je considère comme une différence d'abscisse dans notre première fonction) et dy (que je conçois comme une différence d'abscisse dans la seconde fonction)".
Du coup, tu rates même une évidence, la preuve formelle que dx=Δx
Si y=x, tu peux remplacer y par x dans (1), c'est tout !!

Donc le rapport que dy a avec dx c'est que les deux sont des différentielles et que dy=f'(x)dx si y=f(x). C'est déjà pas mal.

Cordialement.

NB : Historiquement, la notion de différentielle est issue des "infiniment petits" de Leibnitz.
NB : On peut définir très mathématiquement la notion avec les "formes différentielles".

[Lucien-O.]

Merci beaucoup pour votre réponse détaillée!
Je comprends le concept et pense comprendre le pourquoi de ma confusion.
Simplement, lorsque l’on procède par substitution pour calculer une intégrale, le f’(x)dx devient un dy et, si l’on observe une intégrale simple (une intégrale d’une fonction dont la dérivée ne contient pas de variable) on peut voir que l’intervalle d’intégration de la fonction de y est f’(x) fois l’intervalle d’intégration de la fonction de x.
Finalement, la méthode de substitution peut nous amener à considérer que l’on intègre une nouvelle fonction (pour laquelle il est aisé de trouver une primitive) qui serait construite sur l’axe y : f(y).
En se représentant ainsi la chose, on peut constater que, en choisissant des dx et des dy qui ne soient pas infinitésimaux (autrement dit en calculant une valeur approchée de l’intégrale), il faut - pour obtenir la même approximation avec nos deux fonctions – choisir : f’(x)dx=dy.
C’était ce lien ci-dessus que je cherchais et ne trouvais pas,…SI ce que je dis là est sensé, je suis tranquille ! Sans doute est-ce très « formel » mais je ressens un malaise si je ne comprends que vaguement ce que je fais,…

[gg0]

Bonsoir.

Il y a un gros inconvénient à ta tentative de concrétisation : Tu confonds la variable y avec la lettre utilisée pour les ordonnées, qui est aussi y. Que feras-tu si on te donne le changement de variable u=sin(x) ? u n'est ni une abscisse, ni une ordonnée, ni même une cote (z; pour le repérage dans l'espace; à ne pas confondre avec le z des complexes ).

En fait, il s'agit d'une règle algébrique (de calcul). Et qui sert à différentes occasions (les physiciens en font un usage très fréquent). Plutôt que d'essayer de concrétiser, habitue-toi à l'appliquer; puis tu rencontreras cela à différentes occasions, et ça te semblera naturel.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lucien-O.]

Je vais suivre le conseil, ça sera certainement plus utile que de se braquer. Puis, je sens qu'un jour je comprendrai le fin mot de l'histoire
Encore merci en tout cas!