Raisonnement par récurrence [Suite bornée]

[bowlow]

Bonjour,

J'entame le raisonnement par récurrence et je ne comprend pas mon erreur lors d'un exercice.
Question:

Soit (Un) la suite définie sur N par u0 = 10 et un+1 = racine(Un+6) pour tout n supérieur ou égale a 0.
Démontrer que pour tout n => 0, 3 <= Un <= 10

Donc voici mon raisonnement d’hérédité (Je vous passe l'initialisation)
3 <= Uk+1 <=10
3 <= racine(Un+6) <=10
9 <= uk+6<= 100
3 <= uk <= 94

Et voici la réponse
3 <= Uk <= 10
9 <= Uk+6 <= 16
3 <= racine(Uk+6) <=4
3 <= Uk+1 <= 4
Donc
3 <= uk <= 10

Je comprend le raisonnement de la réponse mais paradoxalement je ne comprend pas l’erreur de mon raisonnement.
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[PlaneteF]

Bonjour,

Dans la réponse correcte il n'y a pas d'équivalence entre toutes les lignes.

Ainsi , mais la réciproque est fausse.

[bowlow]

Merci, cela implique que pour le raisonnement par récurrence je dois forcément partir d'une donnée que je connais et non par le résultat recherché?

[ansset]

bonjour bolow, bonjour PlaneteF
en complement.
tu procèdes de manière inverse qui peut amener à une erreur de raisonnement.
tu pars de ce que tu veux démontrer :
3 <= Uk+1 <=10 et abouti par implication ( comme le dit PlaneteF ) à une proposition sur Uk qui est vraie.
ce que tu as fait ne prouve pas la réciproque.

désolé de te paraphraser PlaneteF, mais je souhaitais re-appuyer sur l'ordre du raisonnement en général.

d'ailleurs, la correction part bien de Uk , pas de U(k+1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Merci, cela implique que pour le raisonnement par récurrence je dois forcément partir d'une donnée que je connais et non par le résultat recherché?

Non pas forcément, dans ton exemple tu aurais très bien pu procéder comme tu l'as fait si tu n'avais eu qu'à démontrer car dans ce cas il y a bien des équivalences entre toutes tes lignes.

[bowlow]

Ok merci PlaneteF et ansset pour votre aide, donc on peux partir du point que l'on veux mais encore faut il trouver le bon cheminement , sinon en règle général y'a il un point de départ plus simple qu'un autre? Je veux dire en générale on pars du résultat que l'on cherche a prouver ou bien de ce que l'on a comme données?

[ansset]

Non pas forcément, dans ton exemple tu aurais très bien pu procéder comme tu l'as fait si tu n'avais eu qu'à démontrer car dans ce cas il y a bien des équivalences entre toutes tes lignes.

certes, mais, je trouve globalement cette approche potentiellement dangereuse, car justement elle suppose de bien vérifier l'équivalence à chaque étape.
elle est cependant usitée quand on veux montrer l'herédité par l'absurde par exemple.
(" il ne peut en être autrement pour k+1" )

sinon, le principe général est bien :
si c'est vrai au rang k alors(=>) c'est vrai au rang k+1.
dans ce cadre, les implications suffisent.

[PlaneteF]

certes, mais, je trouve globalement cette approche potentiellement dangereuse,

100% d'accord avec toi ansset, d'ailleurs tu m'as coupé l'herbe sous le pied car j'allais justement écrire un message en complément disant qu'il fallait faire bien attention à la rigueur de la rédaction dans ce cas !

Cdt

[gg0]

Ok merci PlaneteF et ansset pour votre aide, donc on peux partir du point que l'on veux mais encore faut il trouver le bon cheminement , sinon en règle général y'a il un point de départ plus simple qu'un autre? Je veux dire en générale on pars du résultat que l'on cherche a prouver ou bien de ce que l'on a comme données?

Attention :

Pour trouver le chemin, on fait comme on veut.
Mais pour rédiger une preuve, on procède toujours du connu (hypothèse, suppositions intermédiaires, ..) au nouveau (conclusion, ..). Même si on peut vicieusement le rédiger à l'envers (souvent illisible, donc impoli).
Un bon conseil : La conclusion arrive toujours à la fin.

Cordialement