Suite exercice bloqué

[julie83500]

Bonjour a tous ,
Voila je suis bloqué dans un exercice j'ai besoin de votre aide
Énonce : Vo=1 VN+1 = 9/(6-VN)

Q3.a. Démontrez par récurrence que pour tout n , 0<VN<3
b. Démontrez que VN+1-VN= (3-VN)² / (6-VN) est elle monotone ?
c. Démontrez qu'elle est convergente

Pour la 3a j'ai fait :
Amorce : pour n=0
0<V0<3 0<1<3 Donc P est vrai pour n=0
Hérédité: On suppose que 0<VN<3 et 0<VN+1<3 .
On veut montrer que 0<VN<3
On part de
0<VN+1<3
0< 9/6-VN<3
0<18-VN-9 / 6-VN
0< 9-VN / 6-VN

Étude signe
9-VN >0
VN>9
6-VN>0
VN>6
9/6=1,5
VN positif et inférieur a 3 et supérieur a 0

On a montré par récurrence que 0<VN<3 VN est majorée par 3

Est ce que c'est juste ?
Je bloque pour la b par contre ..
Merci de votre aide
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[mickan]

Bonjour,

Énonce : Vo=1 VN+1 = 9/(6-VN)

Q3.a. Démontrez par récurrence que pour tout n , 0<VN<3
initialisation: V0=1 vrai.
Hérédité: 0<VN<3 montrons que 0<V(N+1)<3
en effet,
6>6-Vn>3 donc 3>V(n+1)>(3/2)>0 vrai.

b. Démontrez que VN+1-VN= (3-VN)² / (6-VN) est elle monotone ?
V(n+1)-Vn=9/(6-Vn)-Vn
on met au même dénominateur, plus une factorisation et on obtient la relation énoncée.
Pour le caractère monotone, on regarde le signe de V(n+1)-Vn qui est donné par 6-Vn or Vn<3 ...
c. Démontrez qu'elle est convergente
théorème de de convergence monotone

[julie83500]

Merci d'avoir répondu mickan , par contre je n'ai pas compris ton hérédité pour la question 3

[mickan]

On souhaite démontrez par récurrence que pour tout n , 0<VN<3

initialisation: V0=1 vrai.

si l'on suppose la propriété vrai au rang N: 0<VN<3
Montrons que 0<V(N+1)<3
on a VN+1 = 9/(6-VN)
détaillons les calculs:
0<VN<3
0>-Vn>-3
6>6-Vn>6-3 soit 6>6-Vn>3
1/6<1/(6-Vn)<1/3
9/6<9/(6-Vn)<9/3 soit 3/2<9/(6-Vn)<3
on reconnait dans le terme du milieu V(n+1)
donc 3/2<V(n+1)<3
or 0>3/2 donc 0<V(n+1)<3
la propriété est établi au rang n+1

par récurrence on a établi que pour tout n 0<Vn<3
CQFD

[A voir en vidéo sur Futura]

[julie83500]

d'accord j'ai compris merci beaucoup !