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Suite exercice bloqué

  1. julie83500

    Date d'inscription
    septembre 2013
    Messages
    4

    Suite exercice bloqué

    Bonjour a tous ,
    Voila je suis bloqué dans un exercice j'ai besoin de votre aide
    Énonce : Vo=1 VN+1 = 9/(6-VN)

    Q3.a. Démontrez par récurrence que pour tout n , 0<VN<3
    b. Démontrez que VN+1-VN= (3-VN)² / (6-VN) est elle monotone ?
    c. Démontrez qu'elle est convergente

    Pour la 3a j'ai fait :
    Amorce : pour n=0
    0<V0<3 0<1<3 Donc P est vrai pour n=0
    Hérédité: On suppose que 0<VN<3 et 0<VN+1<3 .
    On veut montrer que 0<VN<3
    On part de
    0<VN+1<3
    0< 9/6-VN<3
    0<18-VN-9 / 6-VN
    0< 9-VN / 6-VN

    Étude signe
    9-VN >0
    VN>9
    6-VN>0
    VN>6
    9/6=1,5
    VN positif et inférieur a 3 et supérieur a 0

    On a montré par récurrence que 0<VN<3 VN est majorée par 3

    Est ce que c'est juste ?
    Je bloque pour la b par contre ..
    Merci de votre aide


     


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  2. mickan

    Date d'inscription
    juin 2013
    Messages
    115

    Re : Suite exercice bloqué

    Bonjour,

    Énonce : Vo=1 VN+1 = 9/(6-VN)

    Q3.a. Démontrez par récurrence que pour tout n , 0<VN<3
    initialisation: V0=1 vrai.
    Hérédité: 0<VN<3 montrons que 0<V(N+1)<3
    en effet,
    6>6-Vn>3 donc 3>V(n+1)>(3/2)>0 vrai.

    b. Démontrez que VN+1-VN= (3-VN)² / (6-VN) est elle monotone ?
    V(n+1)-Vn=9/(6-Vn)-Vn
    on met au même dénominateur, plus une factorisation et on obtient la relation énoncée.
    Pour le caractère monotone, on regarde le signe de V(n+1)-Vn qui est donné par 6-Vn or Vn<3 ...
    c. Démontrez qu'elle est convergente
    théorème de de convergence monotone
     

  3. julie83500

    Date d'inscription
    septembre 2013
    Messages
    4

    Re : Suite exercice bloqué

    Merci d'avoir répondu mickan , par contre je n'ai pas compris ton hérédité pour la question 3
     

  4. mickan

    Date d'inscription
    juin 2013
    Messages
    115

    Re : Suite exercice bloqué

    On souhaite démontrez par récurrence que pour tout n , 0<VN<3

    initialisation: V0=1 vrai.

    si l'on suppose la propriété vrai au rang N: 0<VN<3
    Montrons que 0<V(N+1)<3
    on a VN+1 = 9/(6-VN)
    détaillons les calculs:
    0<VN<3
    0>-Vn>-3
    6>6-Vn>6-3 soit 6>6-Vn>3
    1/6<1/(6-Vn)<1/3
    9/6<9/(6-Vn)<9/3 soit 3/2<9/(6-Vn)<3
    on reconnait dans le terme du milieu V(n+1)
    donc 3/2<V(n+1)<3
    or 0>3/2 donc 0<V(n+1)<3
    la propriété est établi au rang n+1

    par récurrence on a établi que pour tout n 0<Vn<3
    CQFD
     

  5. julie83500

    Date d'inscription
    septembre 2013
    Messages
    4

    Re : Suite exercice bloqué

    d'accord j'ai compris merci beaucoup !
     


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