Dérivée - Limites - Incohérence

[The_Anonymous]

Bonjour tout le monde

J'ai deux questions que je ne comprends pas.

Les voici sans plus tarder :

Question n°1

Cette question est un problème qui ressemble un peu à mon dernier topic mais que je n'arrive pas à résoudre de la même manière.

L'énoncé :

"Déterminer pour un volume donné les dimensions de la boîte de conserve cylindrique qui utilise le minimum de fer blanc. Quelles sont ces dimensions pour une canette de limonade de 3,3 décilitres?"

Si j'ai bien compris, il faut d'abord déterminer les valeurs idéales pour des inconnues puis appliquer au cas de 3,3 dl.

Déjà, j'introduis les variables pour le rayon de la base circulaire (peut-être y a-t-il un meilleur nom pour décrire cette "base circulaire") et pour la hauteur de la boîte de conserve.

J'ai donc que .

Mais je ne sais pas si je dois trouver , ce que je ne sais pas faire car je ne sais pas calculer les racines de la dérivée s'il y a deux variables; ou bien si je dois calculer le minimum de la surface totale (pour utiliser le minimum de fer blanc), ce qui donnerait , mais là aussi, il y a deux variables.

Je ne comprends donc pas comment on peut avancer, il faudrait exprimer une variable en fonction de l'autre ou autre chose, mais je ne vois pas comment...

Pour le cas de 3,3 dl, j'ai déjà calculé que .

J'imagine qu'avec la première partie, on trouve aisément.


Question n°2

Pour cette question, je bloque sur deux limites :

• La limite de quand tend vers .

J'ai essayé de cette façon :

Comme , on peut dire que la limite de quand tend vers vaut la limite de quand tend vers , multipliée à la limite de quand tends vers .

Or, et , donc

.

Je suis assez content de ce raisonnement, mais j'ai quelques doutes, surtout quand je passe de tends vers à tend vers .

• La limite de quand tend vers .

Ici, je comprends que (je me permets d'utiliser le préfixe car je suppose que la limite existe et qu'elle vaut ).

Mais ensuite, j'aurais dis qu'on peut ignorer le comme tend vers et donc qu'on a , mais suite à une vérification, il se trouve que non et que le terme est important contrairement à par exemple et même que . Je ne comprends absoluement pas, j'avais commencé de cette manière :

, et comme , alors la limite recherchée valait 0, mais je dois me tromper quelque part...


Voilà, je vous remercie de m'avoir lu, et je vous suis reconnaissant en avance pour toutes les réponses que vous pourrez me donner!

Cordialement
-----

[Teddy-mension]

Salut The-Anonymous (ça faisait presque longtemps) !

Je vais pour l'instant me pencher sur ta première question.
En fait, tu connais la valeur d'un volume (c'est une constante, donc), et tu sais que la valeur de l'aire peut varier.
C'est donc bien sur qu'il faut se pencher.

Le problème, tu l'as dit, c'est qu'on a deux variables. Et pour en dégager une (enfin, pour l'exprimer en fonction de l'autre).. Et ben on se sert de !

Je m'explique :
Je réutilise les mêmes lettres que toi, et je rajoute que je nomme l'aire du faire blanc.
On a donc le système suivant :

Et là, on peut remplacer dans l'expression de à l'aide de l'équation du haut.
Maintenant que tu as une seule variable, et je te laisse finir tout seul.

[Teddy-mension]

Je passe à la première limite.

Je te suis, et pour moi tout va bien jusqu'à cette étape :

Or,

Je suis entièrement d'accord, mais attention, on a bien . Il n'y a plus de notion de limite quand on passe à la dérivée.

Ensuite :

Pour moi, le changement de variable n'est pas utile ici. Si tend vers , alors tend vers , car
Si tu tiens vraiment à en faire un, pense bien à écrire (enfin je sais que les professeurs aiment bien quand tout est bien clair) le changement que tu fais. C'est-à-dire:

(Ce qui est affreusement laid quand je le fais en LaTeX)

donc .

D'accord pour ça !

[The_Anonymous]

Salut The-Anonymous (ça faisait presque longtemps) !

Je vais pour l'instant me pencher sur ta première question.
En fait, tu connais la valeur d'un volume (c'est une constante, donc), et tu sais que la valeur de l'aire peut varier.
C'est donc bien sur qu'il faut se pencher.

Le problème, tu l'as dit, c'est qu'on a deux variables. Et pour en dégager une (enfin, pour l'exprimer en fonction de l'autre).. Et ben on se sert de !

Je m'explique :
Je réutilise les mêmes lettres que toi, et je rajoute que je nomme l'aire du faire blanc.
On a donc le système suivant :

Et là, on peut remplacer dans l'expression de à l'aide de l'équation du haut.
Maintenant que tu as une seule variable, et je te laisse finir tout seul.

Bonjour Teddy-mension!

Ça me fait aussi plaisir de vous revoir

Vos explications sont toujours aussi claires et précises!

Donc, dans le système je substitue :



.
(Désolé si la mise en page de mes systèmes ne vaut pas la vôtre, mais au moins elle a l'avantage d'être simple d'écriture ).

En dérivant pour rechercher les racines, j'obtiens .

Donc, .

En faisant la même chose mais au lieu d'isoler , j'ai isolé , je suis arrivé à . (Et ça tombe bien car . (Je sais, j'aurais perdu beaucoup moins de temps en utilisant directement l'égalité ).

Et donc, en disant que les dimensions doivent être , je pense que je répond à la première partie de ma première question, non?

Ensuite, pour ce qui est de la canette de 3,3 dl, on obtient que , ainsi que
.

(On exclut la racine négative car le rayon ne peut pas être de mesure inférieure à 0).
Donc, on a et .

Et je vérifie ces informations en calculant :

.

Merci énormément, je te laisse me dire si j'ai fait des fautes, mais il ne me semble pas

Merci encore

Et pour ce qui est de la première limite, je ferais alors attention à ne pas mettre de limite après avoir utiliser BH, et je ferai attention à changer de variable!

Il ne reste plus que la dernière limite

Merci encore et encore pour le temps pris

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Teddy-mension]

Bonjour Teddy-mension!

Ça me fait aussi plaisir de vous revoir

Vos explications sont toujours aussi claires et précises!

[...]
(Désolé si la mise en page de mes systèmes ne vaut pas la vôtre, mais au moins elle a l'avantage d'être simple d'écriture )

C'est gentil ! Mais juste, tu peux me tutoyer, y'a aucun soucis, je ne pense pas être bien plus vieux que toi.
Pour les systèmes en LaTeX plutôt chouettes comme ça, je me contente de faire un copié / collé depuis un lien externe.. Je retiens jamais les formules exactes. ^^'
Et vos systèmes sont loins d'être moches, vous présentez très bien et maîtrisez sans doute mieux le LaTeX que moi (je l'ai découvert sur Futura personnellement !)

En dérivant pour rechercher les racines, j'obtiens .

Donc, .

Oui, je suis d'accord. Par contre, on dérive bien des fonctions.. Or, A est bien un nombre ici. Donc je sais pas si c'est assez précis comme ça (peut être hein !), mais j'aurais plutôt tendance à poser , et dire par la suite que je dérive .
Et si on voulait être chiant, on pourrait bien dire "Comment tu sais que c'est un minimum et non un maximum ?" (Un professeur me l'avait reproché dans une copie une fois, il fallait tracer le tableau de variation). M'enfin bref, passons.

Et donc, en disant que les dimensions doivent être , je pense que je répond à la première partie de ma première question, non?

En effet.

Ensuite, pour ce qui est de la canette de 3,3 dl, on obtient que , ainsi que
.

C'est ça ! Je trouve ça juste un peu compliqué, tu enchâsses deux formules, ce qui crée des fractions à étages, avec des racines cubiques, des carrés, etc., alors qu'on pourrait simplement réutiliser ce que tu as trouvé avant : (d'ailleurs c'est marrant, toi aussi tu l'as utilisé, mais à l'intérieur d'une autre formule)
Et on aurait alors directement (en centimètres), et hop, un coup de calculatrice.
Enfin après quelle que soit la méthode, on est payé pareil.

Il ne reste plus que la dernière limite.

Je vais essayer de m'y remettre, elle est pas évidente ! ^^'

[The_Anonymous]

C'est gentil !

Mais de rien, c'est sincère, je comprends parfaitement ce que vous dites et ce que vous attendez que je fasse, c'est plutôt pratique n'est-ce pas

Par contre ça je ne comprends pas xD :

Mais juste, tu peux me tutoyer, y'a aucun soucis, je ne pense pas être bien plus vieux que toi.

Et deux lignes plus bas :

Et vos systèmes sont loins d'être moches, vous présentez très bien et maîtrisez [...]

Je suis bien d'accord de te tutoyer, mais il faut que toi aussi alors

Pour les systèmes en LaTeX plutôt chouettes comme ça, je me contente de faire un copié / collé depuis un lien externe.. Je retiens jamais les formules exactes. ^^'
Et vos systèmes sont loins d'être moches, vous présentez très bien et maîtrisez sans doute mieux le LaTeX que moi (je l'ai découvert sur Futura personnellement !)

Moi aussi, d'ailleurs j'ai constamment un onglet "Formule Maths LaTeX" x)

Sinon, c'est quand même plus joli si les formules sont alignées et centrées, mais disons que pour faire rapide ça va aussi ^^.

J'ai également découvert LaTeX sur Futura (je me souviens de mon premier topic où j'ai écrit mes formules n'importe comment), j'aime juste bien bricolé avec ce que je trouve, je n'ai pas une maîtrise énrome non plus x) .

Oui, je suis d'accord. Par contre, on dérive bien des fonctions.. Or, A est bien un nombre ici. Donc je sais pas si c'est assez précis comme ça (peut être hein !), mais j'aurais plutôt tendance à poser , et dire par la suite que je dérive .
Et si on voulait être chiant, on pourrait bien dire "Comment tu sais que c'est un minimum et non un maximum ?" (Un professeur me l'avait reproché dans une copie une fois, il fallait tracer le tableau de variation). M'enfin bref, passons.

Tout à fait! En effet, j'indiquerais que je dérive la fonction qui correspond à A et non la dérivation du nombre. Et c'est vrai, ça m'arrive souvent de devoir calculer la racine pour trouver un maximum mais je ne sais pas si c'est un maximum ou un minimum, alors je ferai un tableu de signe

En effet.

D'accord

C'est ça ! Je trouve ça juste un peu compliqué, tu enchâsses deux formules, ce qui crée des fractions à étages, avec des racines cubiques, des carrés, etc., alors qu'on pourrait simplement réutiliser ce que tu as trouvé avant : (d'ailleurs c'est marrant, toi aussi tu l'as utilisé, mais à l'intérieur d'une autre formule)
Et on aurait alors directement (en centimètres), et hop, un coup de calculatrice.
Enfin après quelle que soit la méthode, on est payé pareil.

xD J'ai un peu cherché midi à quatorze heures là

En effet, beaucoup plus simple =)

Je vais essayer de m'y remettre, elle est pas évidente ! ^^'

Vous (tu) faites (fais) comme vous (tu) voulez (veux) !
Je disais ça en rigolant, je ne vous (te) force à rien hein!
Après si tu as trouvé quelque chose, je ne dis pas non, mais c'est moi qui vais m'y remettre =p

Cordialement (Amicalement )

[gg0]

Pour la deuxième limite,

multiplier et diviser par la quantité conjuguée au degré 3 / la quantité conhuguée de a-b étant alors a²+ab+b² ce qui fait qu'en multipliant, on obtient a³-b³, donc la racine cubique a disparu (en haut).
Au dénominateur, factoriser x³ sous la racine cubique, puis le sortir.

Cordialement.

[The_Anonymous]

Pour la deuxième limite,

multiplier et diviser par la quantité conjuguée au degré 3 / la quantité conhuguée de a-b étant alors a²+ab+b² ce qui fait qu'en multipliant, on obtient a³-b³, donc la racine cubique a disparu (en haut).
Au dénominateur, factoriser x³ sous la racine cubique, puis le sortir.

Cordialement.

Merci de votre réponse

J'ai bien compris jusqu'à :



(En gros, jusqu'à "la racine cubique a disparu" j'ai compris).

Après je factorise pour les deux racines cubiques :

.

Si je ne me trompe pas sur la factorisation, on effectue :

.

Les deux racines cubiques quand tend vers valent 1, donc

.

Comme on regarde seulement le degré le plus haut, c'est le même au numérateur et au dénominateur, on prend le coefficient des x² au numérateur et au dénominateur et on obtient 2/3.

J'espère que cette fin de raisonnement est correcte.

Cordialement

[gg0]

C'est l'idée des équivalents.

Mais alors il faut le faire correctement avec les théorèmes sur les équivalents.
Et si on ne les a pas, on peut diviser haut et bas par x² et la limite est évidente.

Cordialement.

[Teddy-mension]

Je suis bien d'accord de te tutoyer, mais il faut que toi aussi alors

Pardon ! Comment dire tout et son contraire en deux lignes.. x)
Mais c'est vrai que c'est pas vraiment naturel de tutoyer en fait, même si parfois je trouve ça moins froid et plus appréciable, quand bien utilisé.. Et puis bon, on est jeune, donc si on commencer à se vouvoyer maintenant.. ._.

[Ah, en effet, la quantité conjugué, j'y avais pas pensé..]

Par contre, je me demandais, est-ce qu'on a le droit d'appliquer la limite sur certains membres de l'expression, et sur d'autres seulement plus tard ? Je m'explique avec un exemple (même plusieurs) :

Si ici ça fonctionne très bien, on peut penser que c'est un coup de chance, parce que lorsqu'on fait :



C'est incorrect.. Je me dis qu'il devrait donc plutôt y avoir la forme indéterminée "" lors du passage à la limite "partout" non ?

[gg0]

Bonjour Teddy-mension.

Il est dangereux de passer à la limite sur une partie d'une expression. le cas classique est


Bien évidemment, s'il s'agit de l'application d'une règle classique (genre limite de somme=somme des limites si les deux limites sont finies), pas de problème. Dans le doute, on évitera donc de remplacer x par sa limite tant qu'on est sur du "lim".

Cordialement.

[Teddy-mension]

Je vois, merci gg0 !