Les suites u et v sont définies pour tout nombre entier naturel n non nul par:
Un=Somme (avec en haut n et en bas k=1) 1/k= 1+1/2+...+1/n
Vn=Somme (avec en haut n et en bas k=1)1/k²=1+1/2²+...+1/n²
1) Vérifier que u et v sont croissantes.
2) Conjecturer le comportement à l'infini de chacune des suites u et v.
3) a- Montrer que pour tout nombre entier naturel n non nul, U2n>=Un+1/2.
b- Démontrer par récurrence la proposition P(k):"il existe au moins un nombre entier naturel nk tel que Unk>=k pour tout nombre entier naturel k>=1."
c- En deduire que la suite u est divergente.
4) a- Montrer par récurrence que pour tout nombre entier naturel n non nul, Vn<=2-(1/n).
b- En deduire que la suite v est convergente.
c- On admet que la limite de la suite v est pi²/6. En deduire les limites des suites definies pour n>=1 par:
Pn=Somme(avec en haut n et en bas k=1)1/(2k)² et In=Somme(avec en haut n et en bas k=1) 1/(2k+1)²
-----
Tu n'as pas dû regarder la première question , elle est évidente.
Re : Deux séries classiques
