Suite convergente ?

[Lynx83]

Salut !

J'ai du mal à résoudre ce problème de maths en expliquant ma démarche...

On pose:

u1 = 1,38
u2=1,3388
et de manière générale Un=1,33333333......8888888....
avec n chiffres 3 suivis de n chiffes 8
La suite Un est-elle convergente ?
Si oui, déterminer sa limite.

Je me suis dit que, lorqu'elle tend vers l'infini; par définition rien n'étant plus grand que l'infini elle tendait vers 1,333333.... (ou 1,[3] en language maths^^)

Mais lorqu'une suite tend vers un nombre aux décimales infinies, on dit qu'elle converge ou diverge ?

Merci beaucoup si vous pouvez m'aider^^
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[Seirios]

Bonsoir,

Il est plus facile de raisonner en écrivant .

[PlaneteF]

Bonsoir,

Ton intuition est la bonne, bien qu'il faut être très, très vigilant avec son intuition lorsque l'on "raisonne avec l'infini", parce que dans ce domaine très souvent l'intuition est totalement prise à contre-pied (cf. tous les paradoxes qui "jouent avec l'infini" et qui sont légion).

Par contre ta justification est complètement vaseuse, les phrases du genre "par définition rien n'étant plus grand que l'infini" (sic) ne voulant rien dire du tout !

Il faut que tu formalises tout cela.

Indice : Pense aux suites géométriques.


N.B. : "langage" et pas "language"


Cordialement


Edit : Ah devancé par Seirios qui est plus généreux que moi en terme d'indices

[Lynx83]

Merci !

Mais je vois pas comment montrer qu'elle converge maintenant .... j'ai essayé de développer Un+1-Un et Un+1/Un.... mais je bloque

PS: Je dois rendre ce travail demain matin^^ donc je reste en ligne pour vous lire rapidement

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Seirios t'a donné le moyen,

les sommes se calculent bien, y'a plus qu'à !

Cordialement.

[Lynx83]

Si j'essaie Un+1-Un je tombe sur -5x10^(-n-1)+10^(-2n-1)+10^(-2n-2) et là je vois pas comment continuer...

[Lynx83]

Ah je crois avoir réussi^^... je tombe sur Un+1-Un=10^(-n-1) x [-5-10^(-n)+10^(-n-1)]

Or le premier terme de la suite Un étant U1, donc 10^(-n)≤0,1 et 10^(-n-1)≤0,01

Donc [-5-10^(-n)+10^(-n-1)]≤-4,89
Et comme 10^(-n-1) est positif... Un+1-Un=10^(-n-1) x [-5-10^(-n)+10^(-n-1)] est négatif
Donc Un est décroissante.

[PlaneteF]

Donc Un est décroissante.

L'énoncé te demande de trouver la limite. Pour ce faire, reprend l'expression de u_n donnée par Seirios :

La première somme est la somme des n premiers termes d'une suite géométrique, donc pas de problème.

Pour la deuxième somme, afin d'y avoir plus clair tu peux faire un changement d'indice l=...

[Lynx83]

Merci beaucoup, j'ai tout réussi (pas eu besoin de changement d'indice)
J'ai juste utilisé la suite S=10^(-1)+10^(-2)+...+10^(-n), puis j'ai fait Sx10^(-1) puis S-Sx10^(-1)... S(1+10^(-1)) pour avoir un quotient... après c'était facile d'étudier le signe.

Merci à tous

[PlaneteF]

Merci beaucoup, j'ai tout réussi (pas eu besoin de changement d'indice)
J'ai juste utilisé la suite S=10^(-1)+10^(-2)+...+10^(-n), puis j'ai fait Sx10^(-1) puis S-Sx10^(-1)... S(1+10^(-1)) pour avoir un quotient... après c'était facile d'étudier le signe.

Sibyllin tout çà.

[Lynx83]

Oui j'avoue que j'ai la flemme de tout réécrire
Bref j'ai "simplifié" la formule générale de Un pour pour calculer sa limite^^

La suite j'ai réussi sans problème merci à vous !

Et on peut archiver j'ai rendu le devoir