résoudre une équation du second degré de tête (petite astuce)ou fausse idée??

[maccadore]

Bonjour

Ce n'est juste qu'une petite chose que j'ai remarqué :

pour résoudre ax²+bx+c=0, avec a≠0.

j'ai remarqué cela :

lorsque c négatif x = (a+b)+(-c)

lorsque c positif x = (a-b)+ c

Fausse idée ???????
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[Lari]

Fausse idée. Dommage, c'était pratique !

Prends un cas particulier par exemple
Déterminant :

>0 donc 2 soluces



et

donc différent de (a-b)+ c = (1-3)+1 = -3

Pour démontrer qu'une hypothèse est vrai, ce n'est pas toujours facile, en tout cas il ne suffit pas de quelques exemples vrais. Mais pour démontrer qu'elle est fausse, il suffit d'un contre exemple.

[maccadore]

Salut, j'ai du mélanger quelque chose .

Les équations étaient à résoudre mentalement, d'ou ma curiosité pour cette trouvaille, mais il sagissait des deux exemples ci dessous où dans l'une x=1 et dans l'autre x=-1

Dans cette exemple: 3x² + 7x - 10 = 0
la réponse donné [x=1] , j'ai vu rapidement que (a+b)+(-c)=0, donc remplacer x par 1 sans résoudre étape par étape

et

Dans ce nouvel exemple: 2x² + 9x + 7 = 0
la réponse donné [x=-1] , j'ai vu rapidement que (a-b)+c=0, donc remplacer x par -1 sans résoudre étape par étape non plus,

Donc, j'ai conclu que

lorsque c négatif x = (a+b)+(-c)

lorsque c positif x = (a-b)+ c

mais effectivement, je ne l'ai pas testé sur d'autre chiffres.

A voir demain.

[PlaneteF]

mais effectivement, je ne l'ai pas testé sur d'autre chiffres.

Bonsoir,

Sans même tester quoi que ce soit, et au delà de l'absurdité de faire une généralité à partir de cas particuliers, tu peux t'apercevoir immédiatement qu'il y a plusieurs choses de profondément bancales dans ce que tu proposes, où dans ce cas, tu aurais au moins une solution quels que soient , et !!! ... alors que tu sais très bien que dans le cas d'un discriminant strictement négatif, ce n'est pas la cas !

Autre chose, hormis les cas où le discriminant est un carré parfait, en général la (ou les solutions) quand elle(s) existe(nt) s'exprime(nt) avec un radical. Si tu prends , et entiers par exemple, où est le radical dans la solution que tu proposes ??!

On pourrait s'amuser à trouver encore d'autres "vices de forme" de ce genre.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[S321]

Dans cette exemple: 3x² + 7x - 10 = 0
la réponse donné [x=1] , j'ai vu rapidement que (a+b)+(-c)=0, donc remplacer x par 1 sans résoudre étape par étape

C'est ce qu'on appel avoir une solution évidente pour une équation du second degré. Ça vaut le coup de savoir reconnaître en un coup d’œil une équation dont 0, 1 ou -1 est solution.

Par contre votre réponse est quand même fausse. L'équation 3x²+7x-10=0 admet deux solutions, vous n'en donnez qu'une, ce n'est pas résoudre l'équation.

[maccadore]

Merci, et oui c'est ce qui est appelé une solution évidente.

Dans la correction, il ne donne que x=1 et pour l'autre x=-1

sinon, je maitrise bien les polynome : forme canonique, racine, factorisation mais pas encore les signes du trinome..

cordialement.

[gg0]

L'exercice n'était-il pas "trouver sans calcul une racine de ..."
Trouver une racine n'est pas résoudre. résoudre, c'est savoir s'il y a des racines et si oui, les déterminer toutes. On dit rapidement "trouver toutes les racines".

Il y a des équations pour lesquelles trouver une racine est facile, les trouver toutes est difficile.

Cordialement.

[maccadore]

Merci, je fournis le lien vers l'exo ..:

EXERCICE 6 ;

http://www.ilemaths.net/maths_1_second_degre_7exos.php

[Lari]

oui effectivement. Dans ce cas, l'astuce pour intuiter qu'une des soluces est 1 ou -1 et de voir si on peut "combiner" plus ou moins les coefs :
3+7 = 10
2+7=9

là, avec un peu de chance, on a une racine 1 ou -1. il y a qu'à tester pour vérifier. Si on ne voit pas ce genre de motifs, on passe au déterminant et tout le tralala...

Mais ça ne fonctionne que pour 1 ou -1.

Peut-être qlq a-t-il des trucs comme ça pour 2 ou -2 ?

Bon travail.

[gg0]

Cet exercice 6 suppose connues les formules sur somme et produit des racines : Si l'équation ax²+bx+c=0 a deux racines x' et x", alors S=x'+x"=-b/a et P=x'x"=c/a (S pour somme et P pour produit). Si 1 est racine, P permet de voir que l'autre racine est c/a; elle est -c/a si -1 est une racine.
Pour 2, on peut tester 4a+2b+c, pour -2, 4a-2b+c. En fait, cette méthode n'est vraiment intéressante que pour les racines évidentes 1 ou -1. le calcul par le discriminant est facile, on peut, avec un peu d'habitude, le faire de tête.

Cordialement.

[maccadore]

on peut, avec un peu d'habitude, le faire de tête.

Cordialement.

Oui gg0, c'est la ou je voulais en venir, de tète c'est pas évident donc on détermine les racines des 2 équations on a :

pour a) x'=1 et x''=-c/a

pour b) x'=-1 et x''=-c/a