Ensemble des nombres réels

[Tourmel000]

(2/3)(4/3) et (3/4)(5/4) est ce bien ça dont vous parlez
-----

[ansset]

non !
relis moi !

[ansset]

par exemple tu as dans la suite des produits
(3/2)(2/3) puis (4/3)(3/4) ....

tu as une suite de couple de ce type là.
et combien valent -ils chacun.?

[Tourmel000]

(3/2)(2/3) c'est 1 et (4/3)(3/4) c'est 1 aussi donc en faisant leur produit j'ai 1

[ansset]

oui !!!! , il ne reste donc que les deux termes qui ne sont pas dans les couples n'est ce pas ?
lesquel ?

[Tourmel000]

(1/2) et (5/4)

[Lari]

Yes ! y'a plus qu'à faire ça jusqu'à 20. Mais en réfléchissant un peu, (prendre les premiers et les derniers comme indiqué), on voit qu'il n'est pas nécessaire de tout écrire

[ansset]

(1/2) et (5/4)

presque, attention à l'inattention , le dernier n'est pas (5/4) mais (6/5) !

[Tourmel000]

en faisant le produit de 1/2 et 6/5 j'obtiens 6/10 = 3/5

[ansset]

oui, c'est bon, maintenant dans ton exercice, on te demande
le produit des termes de 2 à 20.
( j'avais pris 5 au hasard , mais tu vois que le raisonnement est le même quel que soit n )
donc tu peux écrire la formule simplifiée pour le produit des termes de 2 à 20.
pour être plus "joli", il est mieux de l'écrire sous forme d'un produit des deux termes importants.

[Tourmel000]

Qu'est ce que voulez dire par les "deux termes" importants?

[ansset]

les deux termes restant une fois qu'on a éliminé tous les couples dont le produit=1.
c'est exactement ce qu'on vient de le faire pour n=5.
j'ai l'impression que tu appliques ce qu'on te propose sans le comprendre .

[Tourmel000]

Oui sincèrement je ne comprends pas la deuxième partie mais avec ce que vous m'expliquez là je commence à y voir un peu plus clair. tout le monde n'a pas la même capacité de compréhension

Si je comprends bien pour répondre à cette question on a pas besoin d'utiliser de n

[ansset]

Si je comprends bien pour répondre à cette question on a pas besoin d'utiliser de n

ta remarque n'est pas claire.
globalement la démonstration ( la formule finale) est valable pour tout n, mais dépend de n évidemment.
pour le produit de 2 à 5, on obtient mais ici on te demande le résultat pour n=20 ( enfin pour le produit des termes de 2 à 20 ).

[Tourmel000]

à la fin j'ai (1/2)(21/20)

[ansset]

c'est ça ! donc ce n'est pas exactement (1/2)
ça le deviendrait de plus en plus si n devient de plus en plus grand, tu vois pourquoi ?
bravo, si tu as bien saisi le fil du raisonnement.

d'ailleurs ici ,on l'a fait de 2 à n ou on trouve
(1/2)((n+1)/n)
mais on pourrait faire de même avec un produit de par exemple 6 à 30 .
en ne gardant que le premier et le dernier terme comme toujours.

[Tourmel000]

Donc l'expression serait est ce que ce serait (1/2) x (n+1)/n
Si oui pourquoi dites vous que ce n'est pas exactement "1/2 "

[Tourmel000]

je pourrais dire que c'est (1/n) x (n+1)/n

[ansset]

non ! c'est (1/2)*(n+1)/n pour le produit de 2 à n !!!

mais ce n'est pas exactement (1/2) parce qu'il y a le facteur multiplicatif (n+1)/n
pour 20 le terme (21/20) vaut 1,05, donc dans ce cas le résultat est (1/2)*(1,05)

donc c'est toujours un peu plus que 1/2.
mais plus n est grand plus le (n+1)/n tend vers 1 et plus on se rapproche de 1/2.
par exemple si n=100 ,on obtient
(1/2)*(1,01)
et (1/2)*(1,001) pour n=1000 etc.

[ansset]

le mess #48 est réellement faux. ( d'où sort le (1/n) au départ ? )
c'est inquiétant.

[Tourmel000]

je pensais tout simplement que si par exemple le premier facteur commençait par (1-1/7²) ou autre chose au lieu de (1-1/2²)

[Tourmel000]

Merci de m'avoir et merci de m'avoir compris
Une dernière question
1/2 x (n+1)/n
je peux écrire n+1/2n

[ansset]

ha tu pense à une formule qui ne partirait plus de 2 mais d'un autre chiffre.
auquel cas il te faut 2 chiffres , le début et la fin.
si cela t'intéresse, voyons quel serait le premier terme si on commençait par 3.
(dans l'esprit d'une suite de produit

[Tourmel000]

Ce serait: (1-1/3²)

[Lari]

Si je comprends bien pour répondre à cette question on a pas besoin d'utiliser de n

Pas tout à fait. On s'en sert au départ pour le remplacer par des valeurs précises, donc il n'apparait pas ensuite dans la solution (on l'a remplacé par les valeurs 2 à 20)

La difficulté est de bien "voir" la situation

On a une formule générale qui porte juste sur une fraction, avec un paramètre n qui prend la valeur que l'on veut
. Et on voit que cette formule peut s'écrire aussi

Bien

Ensuite, on a une autre formule, qui est le produit de plusieurs fractions


et là on voit que chacune des fractions en question est de la forme de la première formule. Dans CHAQUE fraction, le n de la première formule prend une valeur particulière :
2, puis 3, puis 4. Une valeur différente pour chaque fraction.

L'exercice 2 consiste donc à voir que les fractions de la formule 2 sont toutes semblables, comparables à celle de la formule 1 dans laquelle on REMPLACE n par une valeur particulière pour chacune d'entre elle (2, ensuite 3 pour la suivante...)

Puis, sachant que la formule 1 peut s'écrire autrement, voir si, en utilisant cette nouvelle écriture dans la formule 2, donc en remplaçant chaque fraction par cette nouvelle écriture et toujours en y remplaçant n par la valeur voulue bien sûr (2, 3...), on n'arriverait pas à simplifier la formule pour arriver à quelque chose de simple. et c'est le cas.

On peut dire dans le cas de l'exo 2 que n prend les valeurs 2 à 20 dans la formule 2 et on voit que quel que soit le nombre de fractions, il n'en reste toujours que 2 à la fin des simplifications :

Lorsqu'on va jusqu'à 5, il reste
Lorsqu'on va jusqu'à 20, il reste

Donc toujours 1/2, multiplié par une fraction qui est (la dernière valeur par laquelle on a remplacé n) + 1 / (toujours cette valeur). 21/20 ici.
Cette fraction est d'autant plus petite (proche de 1 plutôt) que le nombre de fractions augmente (que la dernière valeur utilisée pour n augmente donc)

Si on appelle m le nombre de fractions - termes - (ou plutôt le nombre le plus grand par lequel on a remplacé le n . En effet, on commence à 2, donc si on va jusqu'à 20, il y a 19 termes, ou encore si on va jusqu'à un nombre m quelconque, il y aurait m-1 termes...) on peut donc en déduire une formule générale pour un nombre quelconque de fractions qui serait, en appelant m le nombre de plus grand (donc avec m-1 termes)

comme le fait remarque ansset

Et la seconde fraction étant d'autant plus proche de 1 que m est grand, on peut dire, à la limite (quand m est de plus en plus grand, voire l'infini...) que la formule s'approche simplement de 1/2, puisqu'on ne ferait alors que multiplier par 1

Mais ce n'était pas demandé, c'est juste pour le fun (enfin ça devrait...)

[Lari]

Merci de m'avoir et merci de m'avoir compris
Une dernière question
1/2 x (n+1)/n
je peux écrire n+1/2n

non attention. aussi compliqué que soit le "b" donc


à moins que tu voulais écrire (n+1)/2n

[ansset]

Merci de m'avoir et merci de m'avoir compris
Une dernière question
1/2 x (n+1)/n
je peux écrire n+1/2n

ben non, fais le calcul proprement.

Ce serait: (1-1/3²)

tu tiens absolument à revenir à 1-1/n² , alors que tout l'exercice t'amène à transformer cela en


donc quel serait le tout premier terme si on partait de 3 au lieu de 2 ?

[Tourmel000]

Merci beaucoup Lari vous m'apportez toujours un grand soutien. Merci a tous (médiat, tryss,S321,ansset et Samuel9-14)...je vais tout revoir
Bonne soirée a tous et a toutes

[Médiat]

On peut dire dans le cas de l'exo 2 que n prend les valeurs 2 à 20 dans la formule 2 et on voit que quel que soit le nombre de fractions, il n'en reste toujours que 2 à la fin des simplifications :

Je ne sais pas ce que l'on demande aux élèves aujourd'hui, mais ce n'est pas une démonstration

[Lari]

remplacer fraction par terme ou plutôt facteur pour est précis dans mon post. Il n'y a de fraction qu'après remplacement par la seconde forme (et deux par terme...). J'ai écrit trop vite... fraction..facteur...