Suite non majorée

[samir7]

Bonjour,
Soit (U_n) la suite définie sur N par:
U₀=1
U_n+1=U_n+1/U_n

Sachant que pour tout entier naturel U_n > 1, étudier le sens de variation de la suite (U_n)
U_n+1-U_n=1/Un >0 ; la suite est croissante

Prouver que la suite est divergente...
Et là je bloque
Merci pour votre aide
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[PlaneteF]

Bonjour,

Tu peux faire un raisonnement par l'absurde.

Cordialement

[Seirios]

Bonjour,

Supposer que sans demander de le démontrer, c'est plutôt curieux, alors que l'inégalité pour est très simple à montrer (et on a clairement pour tout ) : soit on fait une étude de fonction, soit on est malin et on développe .

[PlaneteF]

Supposer que sans demander de le démontrer, c'est plutôt curieux, (...)

Salut Seirios,

En complément de ce que tu dis, en toute rigueur il y a même quelque chose d'encore plus fondamental à démontrer c'est que U_n est bien défini. Démontrer que U_n >= 1 "seul" n'est pas suffisant car pour pouvoir écrire cela et le démontrer, encore faut-il que U_n existe bien. La méthode standard c'est de considérer la propriété P_n "U_n existe et U_n>=1" et de démonter P_n par récurrence.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[samir7]

Excusez-moi, je voulais bien faire en posant la question qui me bloque... Enfin, j'ai démontré par récurrence ce que j'ai écrit dans l'énoncé "sachant que..."
Et alors, est-ce que le raisonnement par l'absurde est la seule méthode pour prouver la divergence de la suite?
Merci

[Seirios]

Ce n'est sûrement pas la seule méthode, mais c'est probablement la plus simple.

[samir7]

Pour le résonnement par l'absurde: On suppose que la suite U_n converge vers le réel l, alors on a l=l+1/l,
1/l=0 absurde. Donc la suite est divergente.
Quel autre méthode peut-on utiliser ?
Merci

[Seirios]

Il faut également que l soit non nulle pour pouvoir parler de 1/l.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Quel autre méthode peut-on utiliser ?

Tu peux utiliser le théorème suivant : "Une suite croissante non majorée diverge vers ".

Donc, puisque l'on sait déjà que la suite est croissante, il suffit de démontrer qu'elle n'est pas majorée.

Cdt

[Seirios]

Comme , on peut facilement minorer par le n-ième nombre harmonique : . On en déduit notamment (par comparaison série-intégrale) que . D'ailleurs, je pense que l'on doit pouvoir trouver un équivalent entre et une expression en .

[PlaneteF]

On peut aussi raisonner à partir de là. Par l'absurde supposons la suite majorée par . Il vient alors avec contradiction qui suit.

Cdt

[Seirios]

Une autre solution (qui n'est pas de moi) est de remarquer que puis d'en déduire , ie. .

D'ailleurs, en cherchant par récurrence un encadrement du type , il semblerait que cela fonctionne avec , et . On aurait donc . Il serait intéressant de chercher (si elle existe) la limite de .