racine carré

[Thomas markley]

bonjours,

question bète, -2 est-il racine de : racine carré de 4 ??

sinon, pourquoi... merci
-----

[PlaneteF]

Bonjour,

(...) -2 est-il racine de : racine carré de 4 ??

Non.

sinon, pourquoi...

Par définition.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carr%C3%A9e


Cordialement

[Thomas markley]

oui, je vois bien la dfinition... mais j'ai un peu de mal à saisir pourquoi les nombres négatif sont arbitrairement exclu ?

parceque -2² = 4 ainsi que 2² = 4 pourquoi la racine de 4 dont on peut légitimement (et logiquement) accepter et 2 et -2 ne tolère que positif 2...

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Parce ce que dans ce cas la fonction ne serait plus une fonction*. Le choix a été donc fait de définir cette fonction comme étant positive. La partie négative s'obtenant par la fonction .

*Pour rappel, une fonction f(x)=y admet au plus un y pour tout x.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thomas markley]

donc, c'est plus une fonction que la cinquième opérande fondamentale, l'inverse de la multiplication d'un nombre par lui-même..

[gg0]

La fonction racine carrée est bien une fonction ! Et la notation doit bien avoir une seule signification, sinon on ne saura pas ce qu'on écrit.

Historiquement, pendant longtemps ça n'a pas posé de problème, puisqu'on ne travaillait qu'avec les positifs. Ensuite, on a continué sur cette habitude, ce qui fait que le choix n'a pas été arbitraire, mais logique.

Ce qui n'interdit pas de déterminer les deux nombres dont le carré est 4, qui sont bien 2 et -2.

Cordialement.

[Thomas markley]

La fonction racine carrée est bien une fonction ! Et la notation doit bien avoir une seule signification, sinon on ne saura pas ce qu'on écrit.

hm, de prime abord, est une opérande particulière de la division, puisqu'elle est l'opposé de la multiplication d'un nombre par lui même... cela n'a rien d'une fonction en première annalyse, c'est un cas particulier, remarquable de division...

Historiquement, pendant longtemps ça n'a pas posé de problème, puisqu'on ne travaillait qu'avec les positifs. Ensuite, on a continué sur cette habitude, ce qui fait que le choix n'a pas été arbitraire, mais logique.

hm, tu es sur de savoir ce que logique veut dire ? en tout cas elle ne nait pas de mauvaise habitude... au contraire même.. la logique sert pltôt a remettre au droit ce qui est "par usage" mal défini...

Ce qui n'interdit pas de déterminer les deux nombres dont le carré est 4, qui sont bien 2 et -2.

encore heureux.. puisqu'ils le sont



Cordialement.[/QUOTE]

[gg0]

Bon ...

si tu tiens à jouer avec les mots, libre à toi, mais ça ne changera rien aux mathématiques, qui se passent très bien de tes avis à l'emporte pièce.

j'ai cru que c'était une vraie question, je vois que ce n'est que du bavardage, avec des mélanges (" une opérande particulière de la division") et un refus d'accepter les conventions.

Ciao

[PlaneteF]

Bonjour,

hm, de prime abord, est une opérande particulière de la division, puisqu'elle est l'opposé de la multiplication d'un nombre par lui même... cela n'a rien d'une fonction en première annalyse, c'est un cas particulier, remarquable de division...

Ben en maths, "tout" ou presque est "fonction". Après en fonction (sans jeu de mot ) du contexte et/ou de la théorie en jeu et/ou du degré de généralisation, on va parler aussi d'application, d'opérateur (et non pas d' "opérande"), de relation, de loi de composition, de morphisme, de flèche, de foncteur, ... etc ...

Cordialement

[PlaneteF]

... on peut même considérer une constante comme une fonction ou un opérateur d'arité

[fsxskillz]

Tu peux considérer la fonction racine carré comme étant une application comme suit :
f : R⁺ -----> R⁺
x ------->

Donc quand tu donne comme chiffre 4 tu obtiens 2 , et aussi inversement puisque l'application f^-1 serait aussi de R⁺ à R⁺
donc tu n'as pas le droit d'utiliser de nombres négatifs .

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bon ...

si tu tiens à jouer avec les mots, libre à toi, mais ça ne changera rien aux mathématiques, qui se passent très bien de tes avis à l'emporte pièce.

j'ai cru que c'était une vraie question, je vois que ce n'est que du bavardage, avec des mélanges (" une opérande particulière de la division") et un refus d'accepter les conventions.

Ciao

Entièrement d'accord. Je ne vois d'ailleurs pas la nécessité de redéfinir la racine carrée.

[Thomas markley]

Bon ...

si tu tiens à jouer avec les mots, libre à toi, mais ça ne changera rien aux mathématiques, qui se passent très bien de tes avis à l'emporte pièce.

j'ai cru que c'était une vraie question, je vois que ce n'est que du bavardage, avec des mélanges (" une opérande particulière de la division") et un refus d'accepter les conventions.

Ciao

hm, t'es pas dans ta classe, ou les gens sont tenue d'apprendre benoitement ce que tu raconte sans broncher pour avoir leurs diplômes...

de plus, il me semblait que les math reposait plus sur la logique, que sur des conventions...

[Thomas markley]

Entièrement d'accord. Je ne vois d'ailleurs pas la nécessité de redéfinir la racine carrée.

qui parle de redéfinir la racine carré... ? seulement une tentative de clarifier une petite curiosité... rien d'autre... après tout, l'on considère d'habitude que les racines sont les opérandes inverses du carré... ma question etait surtout de savoir pourquoi les carré de nombre négatif n'était pas des solutions des racines carré...

l'on me parle de convention plus haut... mais bon, les conventions sont des arangements entre homme, et non des arguments logiquement acceptable.. (l'on m'a toujours dit que même 2+2=4 avait une "grosse" justification bien solide), ma question etait de savoir ou se trouvait la justification de l'absence des solutions négative a cette operande, là ou elles semble pourtant on ne peu plus logique vu la nature (logique) des racines...

voilà a+

[Seirios]

Les mathématiques sont construites par l'Homme, en quoi est-ce surprenant de retrouver ses choix ?

[PA5CAL]

Bonjour

de plus, il me semblait que les math reposait plus sur la logique, que sur des conventions...

Ton problème vient probablement de cette erreur.

Les maths reposent sur la logique et les conventions.

En effet, il est absolument nécessaire de définir des conventions communes pour pourvoir tous se comprendre quand on discute d'un sujet. Et le choix de ces conventions est logique et utile pour mener des réflexions mathématiques.

[Seirios]

Les maths reposent sur la logique et les conventions.

En effet, il est absolument nécessaire de définir des conventions communes pour pourvoir tous se comprendre quand on discute d'un sujet. Et le choix de ces conventions est logique et utile pour mener des réflexions mathématiques.

Par conséquent, les mathématiques en elles-mêmes ne reposent fondamentalement pas sur les conventions. On pourrait dire que les conventions ne sont que des jeux d'écriture qui nous permettent de nous simplifier la vie; mais bien que mathématiquement creuses, il faut comprendre les mathématiques pour ensuite comprendre pourquoi ces conventions sont ainsi.

Il en est de même pour la racine carrée. L'équation (si ) a deux solutions (dans ); par convention, on choisit de noter l'unique solution positive, de sorte que et sont les deux solutions de notre équation. Cela permet de décomposer l'ensemble des solutions en deux branches, variant de façon régulière en fonction du paramètre de l'équation. Le choix d'une de ces branches est purement arbitraire et totalement sans intérêt. D'ailleurs, ce choix n'est imposé que par notre manière de penser les mathématiques, avec la notion de fonction qui s'est imposée; si l'on était habitué à parler de fonctions multivaluées, il n'y aurait pas de choix à faire (il y a d'ailleurs des choses intéressantes avec les surfaces de Riemann et les fonctions multivaluées, mais cela dépasse largement le cadre de cette discussion).

[PA5CAL]

mais bien que mathématiquement creuses, il faut comprendre les mathématiques pour ensuite comprendre pourquoi ces conventions sont ainsi.

Du point de vue de l'étudiant, certainement. Il n'empêche que le choix des conventions procède d'une démarche inverse : la signification et les implications d'une convention doivent avoir été comprises avant qu'on n'adopte celle-ci, sinon ça n'aurait pas de sens.

Le choix d'une de ces branches est purement arbitraire et totalement sans intérêt.

Comme l'a rappelé gg0 plus haut, le choix de la racine positive n'a pas été arbitraire, mais logique.

Ce choix, en plus d'être historiquement naturel, présente un intérêt pratique indéniable dans la démarche mathématique. Si conventionnellement la racine avait été négative, cette démarche aurait été grandement alourdie, les possibilités de manipulation des réels négatifs étant plus restreintes que celles des réels positifs. On passerait très souvent son temps à faire des circonvolutions sans rapport avec les sujets traités.

[gg0]

Pour appuyer Pa5cal :

Si on choisit pour la solution négative, la règle de calcul des produits de racines devient . Si on ne choisit pas, il n'y a plus de lien de calcul entre . On a ce genre de problème avec les logarithmes de complexes, par exemple.

Cordialement.

[Paraboloide_Hyperbolique]

qui parle de redéfinir la racine carré... ? seulement une tentative de clarifier une petite curiosité... rien d'autre... après tout, l'on considère d'habitude que les racines sont les opérandes inverses du carré... ma question etait surtout de savoir pourquoi les carré de nombre négatif n'était pas des solutions des racines carré...

l'on me parle de convention plus haut... mais bon, les conventions sont des arangements entre homme, et non des arguments logiquement acceptable.. (l'on m'a toujours dit que même 2+2=4 avait une "grosse" justification bien solide), ma question etait de savoir ou se trouvait la justification de l'absence des solutions négative a cette operande, là ou elles semble pourtant on ne peu plus logique vu la nature (logique) des racines...
voilà a+

Bonsoir,

On peut considérer la totalité des mathématiques comme étant un tas de conventions (à commencer par l'écriture des symboles) avec l'obligation que ces conventions ne se contredisent pas.

Il a été choisi conventionnellement que la racine carrée d'un nombre réel est positive. Une justification est que cela garanti que la racine carrée soit une fonction.

Vous vous demandez pourquoi cette fonction ne considère pas les valeurs négatives. 1) Parce que cela ne serait plus une fonction (comme je l'ai déjà écrit) et 2) parce que l'on peut facilement récupérer ces valeurs avec l'opposé de cette fonction. On ne perd donc pas en généralité et on gagne une fonction. On aurait pu définir la racine carrée comme étant négative, mais cela a autant d'importance que de déterminer pourquoi les électrons ont une charge négative et les protons ont une charge positive.

P.S. Un opérande est un objet mathématique sur lequel agit un opérateur. Exemple: dans '1'+'2', les opérandes sont '1' et '2'.

EDIT: pas vu la page 2...