Aire d'un parallélogramme?

[EspritTordu]

Bonjour,

Voici en image, un parallélogramme ABCD. Quel est son aire?

Cela donne naturellement AD*BD et si on prend d=BD, cela donne Aire=d^2 dans la mesure que j'ai choisi BD=AD. En fait, une autre démonstration peut conduire à cette formule d'aire multipliant un côté et sa diagonale. En effet, on peut diviser le polygone de manière à se retrouver avec deux triangles rectangles, ici isocèles en plus, qui, si on les déplace de façon à marier leur hypoténuse, on retrouve un rectangle, ici spécialement un carré dont l'aire est connu pour être le produit de la longueur de deux côtés.

Dans un rectangle défini par deux côtés a et b, on peut voir le calcul de son aire comme le balayage du côté b, considéré de largeur infinitésimal, sur le côté a. Autrement dit, on intègre b de 0 à a ce qui donne bien aire=a*b.

Je reviens à ma forme initiale. J'ai voulu calculer l'aire en balayant la diagonale AB, sur BD. Comme le parallélogramme est carré, et comme on à défini BD=d et que , cela me conduit à :

soit au lieu de

Pourquoi cela n'est-il pas l'aire? Qu'est-ce que je compte deux fois?

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Tu as assimilé le parallélogramme à un rectangle de côtés BD et BA. Autrement dit, tu l'as "redressé", ce qui change son aire.

L'erreur du raisonnement est de considérer qu'on intègre en "balayant" comme tu le dis. C'est une conception erronée : en ajoutant des "lignes", on n'obtient pas une surface. Par contre, l'idée de l'intégrale comme somme de surfaces fonctionnerait mieux, à condition de bien voir dans quel domaine varie le AB dl (en fait, sur la hauteur du triangle BDA).

Cordialement.

[EspritTordu]

Je ne comprends pas pourquoi une surface n'est pas la somme de lignes, de bande (une surface) plutôt dont la largeur est infinitésimal (donc une ligne) d'où l'utilisation de la somme intégrale plutôt que celle algébrique. Après tout, cela marche pour le rectangle.

à condition de bien voir dans quel domaine varie le AB dl (en fait, sur la hauteur du triangle BDA)

Je m'excuse mais cela ne me dis rien!

J'ai fais une image pour montrer ce que j'ai en tête lorsque je fait mon balayage : Après tout c'est la somme de bandes : ces bandes ne sont que de simples rectangles, les parties grisées pouvant être déplacées pour ne faire qu'apparaître qu'un rectangle classique de longueur Racine(2)d.

[PlaneteF]

J'ai fais une image pour montrer ce que j'ai en tête lorsque je fait mon balayage : Après tout c'est la somme de bandes : ces bandes ne sont que de simples rectangles, les parties grisées pouvant être déplacées pour ne faire qu'apparaître qu'un rectangle classique de longueur Racine(2)d.

Bonjour,

L'erreur que tu commets est tout simplement que la largeur de ta bande rectangulaire "infiniment petite" n'est pas comme tu l'estimes, mais


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je ne comprends pas pourquoi une surface n'est pas la somme de lignes, de bande (une surface) plutôt ...

Une ligne ou une bande, ce n'est pas la même chose ! C'est en négligeant cela que tu rates le bon calcul, en n'additionnant que des longueurs sans largeur. Si tu cherches à additionner des bandes, tu eds amené à déterminer leur aire en fonction de dx (voir le message #4) et tu trouves le bon résultat.

Cordialement.

[EspritTordu]

Je comprends alors. Ainsi selon mon calcul erroné, je superposais les bandes? d'où le surplus?

[PlaneteF]

Ainsi selon mon calcul erroné, je superposais les bandes? d'où le surplus?

Ton calcul était erroné tout simplement parce qu'il y avait le facteur qui manquait, ... tu vois bien que si tu le rajoutes tu trouves bien le bon résultat.

Cdt

[gg0]

Dans ton dessin,

elles ne sont pas superposées. Mais leur surface n'est pas BA dx.
Si tu veux utiliser dx, tu prends des bandes de largeur dx. le plus simple est de les prendre verticales (avex une hauteur variable).

Cordialement.

[EspritTordu]

Merci bien.