PI sans fin

**Yohannlunique** · 25/08/2014, 09h43

J'ai vu en cours que Pi était infini,
j'ai lue pas mal de chose la dessus

Mais je n'ai jamais compris pourquoi ?

Si qq a une explication claire a me donné.

**gg0** · 25/08/2014, 09h51

Bonjour.

Non, tu n'as pas vu ça en cours : Pi est parfaitement fini, et vaut environ 3,14.
Par contre ce n'est pas un décimal, donc son écriture décimale est infinie, comme 1/3 (dont l'écriture décimale est 0,3333... avec une infinité de 3); elle n'est pas non plus répétitive, comme celle de 1/3, mais c'est le cas de la plupart des nombres, comme $\text{[math]}$ par exemple.

Donc rien de particulier pour Pi, sauf qu'on n'a pas d'écriture exacte simple autre que pi. mais c'est la même chose pour 1/ et pour $\text{[math]}$ (mais pour eux, on ne fait pas ce genre de remarque !!!).

Cordialement.

NB : Il y a un excellent bouquin de J.P. Delahaye "Le mystérieux nombre pi" qui l'étudie de près.

**Deedee81** · 25/08/2014, 09h52

EDIT croisement avec gg0.

Bonjour Yohann,

Bienvenue sur Futura.

N'oublie pas de dire bonjour.

Ca veut juste dire qu'écrit sous forme décimale :
pi = 3,1415926...

Le nombre de chiffres après la virgule n'est pas limité.
Un peu comme 1/3 = 0,33333......

A une différence près : les décimales de pi ne se répètent jamais de la même façon (non périodique). On dit que le nombre pi n'est pas rationnel (il n'est pas égal à une fraction).

**Yohannlunique** · 25/08/2014, 10h03

Bonjour,

Merci beaucoup pour ta réponse

Donc Pi est irrationnel c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers,
Avec un infinité de décimal non périodique.

Mais comment fait t'on pour déterminé si un nombre irrationnel est périodique ou non ?
Oui si il est fini ou non ?

Yohann

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**gg0** · 25/08/2014, 10h13

Tous les nombres sont finis.

Ensuite, on peut écrire avec un développement décimal fini les décimaux (nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction a/b où a et b sont des entiers et b vaut 1 ou n'est divisible que par 2, ou par 5, ou par 2 et par 5).
Les rationnels ont un développement décimal infini périodique : Ce sont ceux qui peuvent s'écrire sous la forme a/b avec a et b entiers, b non nul). Donc les décimaux sont des rationnels particuliers (ils ont même deux développements périodiques, dont le plus simple est la répétition de 0 qui suit le développement limité : 2/25=0,04=0,040000000...)
Les autres sont les irrationnels. Les preuves d'irrationalité ne sont pas simples (tu trouveras facilement sur le net celle de $\text{[math]}$ , celle de pi est du niveau bac+2 en maths) et de très nombreux nombres utilisés par les mathématiciens sont inclassables de ce point de vue.

Pour aller plus loin, il faut apprendre les maths de base, celles de licence.

Cordialement.

**shokin** · 25/08/2014, 10h25

En plus, tu pourras apprendre, par la suite, que $\text{[math]}$ est un nombre transcendant (donc non algébrique), au contraire de $\text{[math]}$ .

**Deedee81** · 25/08/2014, 11h24

Salut, par contre au soupçonne que pi est un http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_normal
Mais ce n'est pas prouvé.

Avis aux amateurs (éclairés, très).

**Yohannlunique** · 25/08/2014, 12h29

Bonjour,

Donc les décimale de Pi ont une fin probable ?
Un jour peut être,
le record du monde est de 10 000 milliards de décimales par Les Japonais Alexander J. Yee et Shigeru.

Autre chose ...
Comment savoir si Pi n'est pas périodique c'est peut être une très très grande boucle qui se répète au delà des 10 000 Milliards de décimal.
Ou alors il y a bien un nombre fini de décimal mais comment savoir si nous connaissance les décimal de pi à 50% du total ou a 5%....

Yohann

**erik** · 25/08/2014, 12h44

Envoyé par Yohannlunique

Donc les décimale de Pi ont une fin probable ?

Non le nombre de décimales de Pi est infini, si Pi avait un nombre fini de décimale se serait un nombre rationnel et ce n'est pas le cas.

Envoyé par Yohannlunique

Comment savoir si Pi n'est pas périodique c'est peut être une très très grande boucle qui se répète au delà des 10 000 Milliards de décimal.
Ou alors il y a bien un nombre fini de décimal mais comment savoir si nous connaissance les décimal de pi à 50% du total ou a 5%....

Non pour la même raison que précédemment : si il existait une période alors Pi serait un nombre rationnel, c'est à dire que Pi serait de la forme a/b avec a et b entier, et on a démontré que ce n'était pas le cas.

**gg0** · 25/08/2014, 13h22

Yohannlunique,

il faudrait commencer à faire attention au sens des phrases : "nombre fini" ne veut pas dire "nombre de décimale fini". Tu sembles ne même pas avoir réfléchi au cas de 1/3 (fais la division à la main, comme on apprend en début de collège), comment pourrais-tu comprendre le cas plus difficile de pi ?

Continue à te poser des questions, mais prends le temps de comprendre les réponses. Sinon, tu gaspilles ton intelligence.

Cordialement.

**Yohannlunique** · 25/08/2014, 16h05

Bonjour,

j'ai bien compris que c'est la quantité de chiffres après la virgule qui est infinie, et non pas la valeur du nombre.

Pour 1/3 c'est "sur et certain" que le nombre de décimale est infini.

Mais pour Pi c'est pas du tout la même chose ?

PS : Site très bien fait : http://villemin.gerard.free.fr/FAQ1/Constant.htm

yohann

**erik** · 25/08/2014, 16h19

Envoyé par Yohannlunique

Mais pour Pi c'est pas du tout la même chose ?

On va récapituler :

Tout les nombres ayant un nombre fini de décimales sont des rationnels, c'est évident (par exemple 9,1234 = 91234/10000 ) (attention je n'ai pas dit que tout les rationnels avaient un nombre fini de décimale, ça c'est faut, par exemple 1/3).
Donc si Pi a un nombre fini de décimales c'est un rationnel.
Mais on a démontré que Pi n'est pas un rationnel.
Donc Pi a un nombre infini de décimales.

**shokin** · 25/08/2014, 17h41

En gros, l'ensemble des nombres rationnels est inclus dans l'ensemble des nombres algébriques, qui est lui-même inclus dans l'ensemble des nombres complexes (de la forme $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ; un nombre réel étant un nombre complexe où $\text{[math]}$ ).

$\text{[math]}$ est un nombre rationnel, donc algébrique, donc complexe.

$\text{[math]}$ n'est pas un nombre rationnel, mais il est algébrique donc complexe.

$\text{[math]}$ est un nombre complexe, mais pas algébrique, donc pas rationnel.

**joel_5632** · 04/09/2014, 19h05

Il existe une démonstration que PI n'est pas rationnel, donc que son développement décimal est infini et non périodique. La démonstration est de niveau bac+1/2.

**shokin** · 04/09/2014, 22h14

Envoyé par shokin

l'ensemble des nombres algébriques, qui est lui-même inclus dans l'ensemble des nombres complexes

J'ai peut-être dit une bêtise.

"nombre algébrique" et "nombre complexe" sont-ils synonymes ? Existe-t-il des nombres complexes qui ne soient pas des nombres algébriques ?

**Seirios** · 05/09/2014, 07h02

Envoyé par shokin

J'ai peut-être dit une bêtise.

"nombre algébrique" et "nombre complexe" sont-ils synonymes ? Existe-t-il des nombres complexes qui ne soient pas des nombres algébriques ?

Oui. D'ailleurs, il n'y a qu'un nombre dénombrable de polynômes à coefficients entiers, qui ont eux-mêmes un nombre fini de racines, donc l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable. En ce sens, on peut dire que "presque tous" les nombres complexes ne sont pas algébriques.

**Deedee81** · 05/09/2014, 07h05

Salut,

Envoyé par shokin

Existe-t-il des nombres complexes qui ne soient pas des nombres algébriques ?

Oui.

pi + i e
par exemple.

Ta remarque sur les nombres algébriques inclus dans l'ensemble des complexes est correcte (à un abus de langage près que les mathématiciens nous pardonneront, le même abus que dans "les réels sont un sous-ensemble des complexes").

**Seirios** · 05/09/2014, 07h05

Envoyé par joel_5632

Il existe une démonstration que PI n'est pas rationnel, donc que son développement décimal est infini et non périodique. La démonstration est de niveau bac+1/2.

Voir par exemple ceci.

**Médiat** · 05/09/2014, 07h13

Bonjour,

Un petit schéma explicatif ( $\text{[math]}$ est la clôture algébrique de $\text{[math]}$ , c'est à dire le plus petit corps contenant $\text{[math]}$ et tel que tous les polynômes à coefficients dans $\text{[math]}$ ont des solutions dans $\text{[math]}$ .)

L'ensemble que l'on appelle "les algébriques" usuellement est $\text{[math]}$ .

**Deedee81** · 05/09/2014, 08h56

Salut,

Envoyé par Seirios

Voir par exemple ceci.

Joli. Je ne connaissais pas.

Merci,

**joel_5632** · 05/09/2014, 10h39

Envoyé par Médiat

L'ensemble que l'on appelle "les algébriques" usuellement est $\text{[math]}$ .

Sur wikipédia, l'ensemble des algébriques est $\text{[math]}$ , il contient aussi des complexes.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_alg%C3%A9brique

**Deedee81** · 05/09/2014, 11h13

Envoyé par joel_5632

Sur wikipédia, l'ensemble des algébriques est $\text{[math]}$ , il contient aussi des complexes.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_alg%C3%A9brique

Oulà, il faut faire attention au terme alors. Il y a un certain flou artistique.

Je les aurais moi aussi limité aux réels.

**Médiat** · 05/09/2014, 11h24

Envoyé par joel_5632

Sur wikipédia, l'ensemble des algébriques est $\text{[math]}$ , il contient aussi des complexes.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_alg%C3%A9brique

Wikipedia est mathématiquement correct, d'où ma formulation et les guillemets : que l'on appelle "les algébriques" usuellement.

J'aurais pu (dû) expliciter pourquoi cette formulation et les guillemets

**Deedee81** · 05/09/2014, 12h22

Il me semble de mémoire avoir déjà lu plusieurs fois "nombres réels algébriques". Mais je dois dire que je n'avais jamais fait attention jusqu'ici. Grâce à vous deux, je serai plus attentif

PI sans fin

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