Bloqué sur les complexes

[Vanggs]

Bonjour à tous/toutes,

Voilà, voilà je suis bloqué sur un exercice de complexes :

1/

 Cliquez pour afficher

Où j'en suis (bas pas très loin ...):

J'ai conjecturer que Re(z)=0 quand

mais après pour le démontrer, récurrence ? Si oui je n'ai aucune idée de comment commencer la chose

Pour Im(z)=0 j'ai conjecturer que n=6k

-----------------------------------------------------------------------------------

2/ Déterminer les nombres complexes z tels que : z, 1/z, z-1 aient le même module

celui-ci, normalement c'est bon:

 Cliquez pour afficher

z=a+ib

:





-------------------------------------------------------------------

:







tous les modules sont =1

-----------------------------------------------------------------------------------

3/Exprimer de deux façons différentes le nombre complexe ;
en déduire et

je n'ai pas commencé celle-ci mais je suppose qu'il faut commencer par la quantité conjuguée

-----------------------------------------------------------------------------------

4/ Trouver un condition nécessaire et suffisante sur le nombre complexe z pour que les points A(z), B(z^2), C(z^3) forment un triangle équilatéral.

Je verrais plus tard pour celui-ci

Merci d'avance
-----

[ansset]

pour la première tu peux voir que

[danyvio]

Pour le 1, ce serait bien de mettre sous forme a(sin(x)+i cos(x)), et d'appliquer cette bonne vieille formule de Moivre.

[Vanggs]

Merci pour vos réponses,

en utilisant la formule de moivre j'ai:



mais dans les deux cas je suis toujours confronter au même problème, comment à partir de ces formes montrer que pour n=3^k, z est un imaginaire pur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pallas]

un complexe est reel si sa partie .... est nulle donc il suffit de resoudre une simple equation trigo !!
de même un imaginaire pur si etc ..

[Vanggs]

Merci beaucoup !

j'était resté bloqué sur ma conjecture, qui était fausse ...

donc ceci revient à résoudre :



alors :



Ps: ceci revient à

[Vanggs]

pour la question 3, j'arrive à

sous forme trigo je retrouve bien le cos et sin de pi/12 mais je dois en déduire cos(pi/12) et sin(pi/12), ce qui veux dire que je ne suis pas censé connaître leurs valeurs

[pallas]

tu peus ecrire directement npi/6= pi/2 + k pi doit n= 3+6k avec k element de N

[pallas]

Ceci est la forme algebrique
Maintenant tu ecris rac(3) +i sous forme trigo ainsi que 1+i puis le quotient ( formule du cours ) et tu dis que cette expression sous forme trigo est identique a celle que tu as trouve ( exo classique !!)

[ansset]

il me semble qu'on t'a proposé une double écriture.
or.
et

[Vanggs]

merci pour vos réponses,

ha ! oui désolé ansset, la reprise est dur ^^', je n'avais pas touché aux exponentielles depuis un moment, donc ça ne m'avait pas sauté au yeux :

soit :

donc .

je passe le développement :



et



donc:



merci beaucoup , j'attaque la dernière question

[ansset]

pour la dernière , je t'invite aussi à ecrire z sous la forme

[topmath]

Bonjour à tous:

Il faut que les 3 point appartiennent à un même cercle .

Cordialement

[Vanggs]

en fait je ne comprend pas ce qu'il demande par " trouver une condition nécessaire et suffisante sur z" il faut que je dis que doit doit de la forme de ... ? par exemple ( juste pour illustré ce que je veux dire ) ax^2+bx+c est une "forme" de fonction polynome 2° ?

[PlaneteF]

en fait je ne comprend pas ce qu'il demande par " trouver une condition nécessaire et suffisante sur z" il faut que je dis que doit doit de la forme de ... ? par exemple ( juste pour illustré ce que je veux dire ) ax^2+bx+c est une "forme" de fonction polynome 2° ?

Bonsoir,

Dans cet exercice, la condition nécessaire et suffisante sur à trouver, est bien plus précise qu'une certaine forme de .

Pour démarrer, que proposes-tu comme condition(s) nécessaire(s) et suffisante(s), connue(s) depuis le collège, faisant intervenir , et , pour que le triangle soit équilatéral ?

N.B. : Pour le moment je ne te parles pas de l'affixe de ces points.


Cordialement

[Vanggs]

PlaneteF donc, angles égaux à 60° (pi/3) et les trois côtés de même longueur

[PlaneteF]

PlaneteF donc, angles égaux à 60° (pi/3) et les trois côtés de même longueur

Pas besoin de prendre ces 2 conditions en même temps, une seule suffira, ... par exemple les 3 côtés sont de même longueur, soit .

Maintenant tu peux faire entrer en scène la notion d'affixe et de module.

Cdt

[PlaneteF]

Rappel :

[Vanggs]

D'accord,

je pose z=a+ib

AB:







AC:




et je dois résoudre ça ? 0o :

[ansset]

oups.
pose plutôt
et

.....

[Vanggs]

merci pour vos réponses,

@ansset :en opérant le même développement que ci-dessus ?

[ansset]

il y a plusieurs manières.
mais ta démarche est bonne, je te propose simplement de la simplifier un peu.
de plus

[ansset]

tu peux en tirer immédiatement une conclusion sur les modules.

[Vanggs]

merci pour ton aide

alors z=|(z^2-z)/(z^2-z)|=1 ?! donc a=1 b=0, mais alors il ne s'agit plus d'un triangle équilatérale mais plat non ? j'ai dû encore loupé quelque chose désolé ^^'

[PlaneteF]

je pose z=a+ib

Pas besoin de poser quoi que ce soit, la réponse se trouve quasiment sans calcul ou du moins avec très peu de calcul, en raisonnant directement sur les modules et en faisant une interprétation géométrique.

Cdt

[ansset]

il y a plusieurs manières.
mais ta démarche est bonne, je te propose simplement de la simplifier un peu.
de plus

et tu as

[PlaneteF]

Salut ansset,

Cela voudrait dire que : , ... ce qui n'est pas le cas

Cdt

[ansset]

oups, suis allé trop vite.
merci pour la correction.

[Vanggs]

en suivant vos indication, j'arrive toujours sur z=1, mais ce qui veut que chaque côté =0 est-ce encore considéré comme triangle ?

j'ai

[PlaneteF]

se traduit par

A partir de là tu factorises puis tu simplifies en justifiant que tu peux le faire, et enfin tu conclues avec une petite interprétation géométrique et c'est plié


Cdt