Bonjour,
Voici le problème auquel je fais face:
J'écris une phrase de longueur infinie constituée des lettres ABCD que je tire aléatoirement une par une et de manière équiprobable.
Je voudrais connaitre la probabilité de lire ABCD avant BCD.
J'ai fait un script pour avoir une idée du résultat. Je trouve une probabilité d'environ 0.295.
Mais j'aimerai retrouver ce résultat de manière mathématique. Pouvez vous m'aider svp ?
Merci !
bonsoir
Le jeu s'arrête quand BCD sort pour la première fois
soit BCD est précédé de A auquel cas on gagne
soit BCD est précédé par B ou C ou D, auquel cas on perd
il y a 1 chance sur 4 que la séquence BCD soit précédée d'un A.
Donc la probabilité que ABCD sorte avant BCD est de 1/4
ça ne colle pas avec ton résultat expérimental. C'est trop simple comme réponse non ?
Dernière modification par joel_5632 ; 16/09/2014 à 18h16.
Joël,
c'est presque bon, mais BCD peut sortir sans être précédé (au troisième tirage), ce qui augmente sa probabilité de sortie.
Cordialement.
ah oui
mais ça renforce la probabilité de sortir BCD en premier, j'ai donc des doute sur le résultat expérimental de moebius
Evidemment, je me suis trompé dans l'énoncé
On recommence:
J'écris une phrase de longueur infinie constituée des lettres ABC que je tire aléatoirement une par une et de manière équiprobable.
Je voudrais connaitre la probabilité de lire CABC sans avoir eu ABC avant.
Désolé pour mes propos confus (enfin faux...) !
Merci
Pour moi c'est le même raisonnement
1er CABC sans avoir eu ABC avant -> succès
1er CABC avec un ou des ABC avant -> échec
je recherche le premier ABC
si la lettre précedente est C, c'est un succès, Proba=1/3
si la lettre précedente est A ou B, c'est un échec, Proba=2/3
Il y a le cas particulier du ABC en début de chaine, proba = 1/27, qui produit un échec
Au final: P(échec) = (1) * (1/27) + (2/3) * (1-1/27) = 0.679
et: P(succès) = 0.320
C'est toujours pas ton 0.295
Je comprends ton raisonnement mais je ne vois pas d'erreur dans mon code:
Cliquez pour afficher
Le code est en Python et j'ai remplacé les lettres par des chiffres par commodité (A=0, B=1, C=2).
Le code ne fait pas ce que tu as dit
Tu arrêtes d'alimenter la chaine quand ABC sort, puis tu regardes s'il y a eu du CABC avant. IL faudrait faire le contraire, arrêter quand CABC sort et regarder s'il y a eu ABC avant
j'ai quand même voulu vérifier la proba avec le prog suivant:
et bien je trouve comme toi 0.296 et pas 0.320 ...Code:import random c=0 for j in range(1,100001): liste='' while not '2012' in liste: liste+=str(random.randint(0,2)) liste2 = liste[0:-3] # print(liste) # print(liste2) if '012' in liste2: c+=1 print (1-c/j)
Bizarre, il va falloir trouver où on se trompe
Je ne suis pas convaincu. J'arrête effectivement la liste quand je vois ABC. Et ensuite je regarde s'il y eu CABC avant ou pas, donc si CABC apparaît avant ABC ou non. Et je fais le nombre de réussites sur le nombre total de listes.
Donc pour moi je réponds bien à l'énoncé en donnant la probabilité d'avoir CABC sans avoir eu ABC avant...
Pardon, je n'avais pas vu ton dernier message, on est donc d'accord.
bonjour
La nuit portant conseil, je pense avoir compris pourquoi le calcul théorique ne correspond pas avec le résultat de la simulation.
Quand on détecte le premier ABC dans la séquence XXXXXABC, on regarde si la lettre qui précède le A est un C ou pas. Si non, c'est un échec, si oui c'est un succès. Or dans le calcul théorique je considérais que cette lettre qui précède le A pouvait être de façon équiprobable un A ou un B ou un C. Je pense que c'est faux, en effet on ne peut pas avoir ABCABC sinon on se serait arrêté avant, donc le C est moins probable que le A et le B.
Le calcul théorique reste faisable mais se complique. En plus il y a le début de la séquence qui amène plusieurs cas particuliers.
ABC
XABC -> équiprobabilité pour X de valoir A, B ou C
XXABC -> équiprobabilité pour le 2ème X de valoir A, B ou C
après je pense que les cas sont tous identiques entre eux
XXXABC -> pas équiprobabilité car XXX = ABC est impossible
XXXXABC -> pas équiprobabilité car XXXX = XABC est impossible
...
J'ai une autre idée que je n'arrive pas à finaliser.
Ce problème me fait penser à celui du singe et de la machine à écrire : http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_du_singe_savant
On aurait donc :
- probabilité de ne pas avoir CABC dans les n premiers blocs de 4 lettres = (1-(1/3)^4)^n
- probabilité de ne pas avoir ABC dans les n premiers blocs de 3 lettres = (1-(1/3)^3)^n
Du coup je chercherais bien probabilité de ne pas avoir ABC sachant qu'on a eu CABC ou quelque chose comme ça.
re-bonsoir
J'ai écrit un prog qui donne les probabilités (exactes) d'avoir les lettres A, B, C juste avant une séquence ABC en fonction de la position de ABC dans la chaine (on commence à numéroter avec 0)
pos A B C
1 0.33333 0.33333 0.33333
2 0.33333 0.33333 0.33333
3 0.34615 0.34615 0.30769
4 0.34375 0.35156 0.30469
5 0.34292 0.35398 0.30310
6 0.34268 0.35529 0.30203
7 0.34238 0.35583 0.30179
8 0.34219 0.35586 0.30195
9 0.34202 0.35564 0.30234
10 0.34186 0.35530 0.30284
on voit que les probas ne sont pas constantes selon le rang.
Et il y a un déficit de C à partie du rang 3, c'est normal
Dernière modification par joel_5632 ; 17/09/2014 à 16h50.
Tu veux dire que la probabilité de lire CABC sans avoir eu ABC avant varie selon le rang ? Pourtant les valeurs calculées semblaient converger vers une proba constante...
Dernière modification par moebius2 ; 17/09/2014 à 16h54.
si on a XX...XXABC
la probabilité que le X juste avant le ABC vaille A ou B ou C ne vaut pas 1/3 et dépend de la position de la chaine ABC
si position=1 XABC, prob(X=A) = prob(X=B) = prob(X=C) = 1/3
si position=2 XXABC, prob(dernierX=A) = prob(dernierX=B) = prob(dernierX=C) = 1/3
si position=3 XXXABC prob(dernierX=A) = 0.34615 prob(dernierX=B)= 0.34615 etc
Dernière modification par joel_5632 ; 17/09/2014 à 17h01.
Oui mais je ne peux pas deviner à quel rang va tomber ABC. Dans ce cas, comment répondre à ma question ?
Une moyenne du rang 1 à l'infini n'aurait pas de sens, n'est ce pas ?
Et comment sais tu que les probabilités que te sort ton programme sont "exactes". Il y a une formule pour ça ? Ou c'est comme le mien ?
ça prouve que le problème est difficile et qu'il faudra passer par une relation de récurrence donnant la proba de trouver ABC en position n sans CABC avant.
Le programme donne des valeurs exactes, je veux dire que ce n'est pas une simulation mais une étude exhaustive des cas.
pour n=1=2 et aussi 3, les valeurs peuvent être vérifiées à la main et sont justes. Je suppose qu'elles le sont encore après
Ca me parait impossible de trouver une relation de récurrence comme ça ...
Mon idée de la machine à écrire n'était pas bonne tu penses ? On avait aussi une probabilité qui dépend de n. On peut peut être faire un lien. ?
-----------------Up----------------- A l'aide
Toute proposition est la bienvenue.
si on considère qu'on a gagné dès que la chaine sort, alors la longueur de la chaine compte.
pour un calcul propre à l'inifini, il convient de faire une somme de 4 à l'infini; me semble t-il.
a moins que n'ai pas saisi proprement l'énoncé.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
les valeurs calculées convergent quand N est grand ( c'est logique ), mais un resultat positif peut avoir lieu avant !
ce qui augmente les chances d'un résultat positif global
je ne fais pas le calcul qui me semble assez infernal.
j'aurai tendance à faire une simultation numérique.
Dernière modification par ansset ; 20/09/2014 à 17h33.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
