Du second degré en 3ème ???

[kazuko]

Bonjour à vous, j'ai un exercice qui me pose problème: je dois le rendre accessible à un élève de 3ème. En effet, celui-ci nécessite du second degré...
Le principe est simple, sachant que ABCD est un rectangle et que AB + BC + CD = 21m, à quelle distance de A doit se trouver le point B pour que l'aire soit maximale ?



Avec du second degré, on obtient facilement Aire(ABCD) = -2AB² + 21AB, donc en calculant (alpha ; beta) les coordonnées du sommet de la courbe représentative, on trouve AB = 5,25m pour une aire maximale.

Mais comment rendre ceci accessible à un élève de troisième ? Selon les recommandation de leur prof, il faudrait faire un tableau de valeur, or la solution n'est pas un entier donc ce serait beaucoup trop tâtonner avec un tableau de valeur.

Merci de me conseiller.
-----

[joel_5632]

Bonjour

Si le prof demande un tableau de valeurs, c'est qu'il attend un résultat approximatif de l'aire max.

[Boumako]

Bonjour

L'aire est égale à x(21-2x) (x la longueur du coté AB. En faisant un tableau de valeurs on trouve facilement une symétrie autour de 5,25.
On peut éventuellement le démontrer.

[Boumako]

Trop tard pour éditer... On peut aussi chercher les 2 solutions (x= 0 ou 21-2x=0) ; la solution au problème est la moyenne des 2 solutions puisque la courbe est symétrique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pseudoarallonge]

Bonjour,
Le problème n'est pas super bien formulé.

Qu'est ce qui peut varier et qu'est ce qui reste constant ?

Sinon parmi tous les rectangles de même périmètre, le carré est le celui qui a la plus grande aire...

[Boumako]

Je trouve le problème très bien posé personnellement...Pour quelle longueur AB l'aire est elle maximale, sachant que AB+BC+CD = 21. La solution n'est pas un carré.

[pseudoarallonge]

Je trouve le problème très bien posé personnellement...Pour quelle longueur AB l'aire est elle maximale, sachant que AB+BC+CD = 21. La solution n'est pas un carré.

Ah oui!
C'est un joli problème, en fait. C'est pas pareil que si c'était le périmètre qui était constant...

Sinon, le fait que :
1. La longueur soit le double de la largeur, est ce une coïncidence ou une propriété remarquable.
2. la largeur soit telle que 21 soit aussi le périmètre d'un carré est une coïncidence ?

[kazuko]

Bonsoir, concernant la symétrie encore faut-il savoir quelle est la représentation graphique d'une fonction polynome du second degré. Lorsque j'tais en 3ème, j'avais beau être bon en mathématiques mais j'ignorais tout du second degré...
Ensuite, l'élève que j'aide m'a simplement dit que leur prof avait évoqué le tableau de valeur, pas que c'était une obligation...

Merci de votre aide

[Boumako]

Sans évoquer la symétrie je ne vois que le tableau de valeur avec recherche d'un maximum par dichotomie...

[kazuko]

Faut vraiment avoir l'idée de donner un tel exercice à un élève de 3ème è_é

[pseudoarallonge]

C'est bon j'ai trouvé.

Soit l la largeur et L la longueur.
Ecrivons que L=l+k

Alors A=l.L=l.(l+k)
A=l.l+l.k

Interprétons géométriquement ce que cela veut dire.
L'aire est celle d'un carré et d'un rectangle.

L'aire sera maximale si k=l car alors l'aire du rectangle est celle d'un carré.
Ainsi 21=l+l+l+l
l=21/4=5,25

Et voila, le tour est joué!

[kazuko]

L'aire sera maximale si k=l car alors l'aire du rectangle est celle d'un carré.

Comment on sait cela ?

[untruc]

D'abord, tu remarques que 2AB+BC=21
du coup, si tu lui dessines la droite des points C, formée par les points de coordonnées (BC, AB), tu vas trouver une droite qui relie (0, 10.5) et (21, 0).
et l'aire que tu cherche, ABxBC est laire du rectangle qui est dans les grand triangle de sommets (0, 10.5) et (21, 0) et (o, 0).

à ce stade, il a une vision du problème, tu lui demandes d'intuiter une solution.
comme il est au stade ou il a besoin d’être pris par la main pour réfléchir, il te regardera la bouche béante.
à ce stade, tu lui signales qu'il est sensé avoir un ordinateur, avec géogébra installé et aussi un tableur.
après qu'il te le ramène, tu notes bien la marque de son bidule, afin de renégocier ton salaire horaire si tu vois la marque à la pomme.

dans geogebra il y a un truc qui s'appelle figure dynamique, il te permet de suivre la variation de l'aire du rectangle alors que du déplace le coin C le long de la droite 2AB+BC=21. Il va voire que l'aire est max quand BC est au milieu de 21, donc BC=10,5, et il va noter l'aire.

aussi, tu peux lui faire écrire la formule de l'aire Aire= ABxBC= ABx (21-2 AB). Ensuite, tu lui fais ouvrir le tableur qu'il a sur son bidule. Tu lui demande de tracer la courbe, pour des valeurs de AB comprises entre 0 et 10.5 (demande lui pourquoi on ne va pas au delà).
et quand il a tracé cette courbe, tu testes s'il sait déterminer le max d'une courbe, et lire l’abscisse de ce point.

Au passage, tous ça est au programme de 3ieme. ca s'appelle utiliser TOUS les moyens à sa disposition pour résoudre un problème.

En clair: tu ne peux pas démontrer le résultat. C'est pas au programme. Le prof le sait très bien, il veut qu'ils se servent du tableur pour tracer des courbes denses, pas avec des pas unité.

[kazuko]

du coup, si tu lui dessines la droite des points C, formée par les points de coordonnées (BC, AB)

bizarres tes coordonnées...

[untruc]

! un rectangle A B C D

y
|
|
|
B-------------------------C
|............................. .......|
|............................. .......|
|............................. .......|
A-------------------------D----------------------------------> x

j'ai 2AB+BC= 21.
bien sur AD= BC. AB=CD car ABCD est un rectangle

je note (x, y) les coordonnées de C. Question: comparer x et BC. comparer aussi y et AB
quelle equation verifie (x,y): 2y+x=21.

très bizarre mes coordonnées en effet. KappaHD

[Boumako]

Ce n'est pas du niveau 3eme non plus.

[untruc]

d'utiliser geogebra et des tableurs? Si, d'ailleurs sa figure tel quel dans le cours du CNED de 3ieme, avec un problème similaire à celui donné par OP, mais dérivé du problème de khawarizmi.
et représenter des droites affines est aussi du programme de 3ieme.

[pseudoarallonge]

Comment on sait cela ?

En résonant en géomètre et non en algébriste.

En 3ème, on connait les propriétés remarquables des quadrilatères et autres figures à 4 côtés.
Le fait est que la solution peut se voir comme deux même carrés juxtaposés l'un à côté de l'autre.

Si le rectangle était composé d'un seul carré alors 21/3=7, l'aire vaudrait 49.
Si le rectangle est composé de deux même carrés alors 21/4=5,25, l'aire vaut alors 55,125.

Et puis, à ce niveau, l'élève ne peut avoir qu'une impression surréaliste de l'exo. Il ne peut en avoir une compréhension profonde.
L'aire maximale est obtenue lorsque le rectangle peut se décomposer en deux même carrés. C'est tout. C'est comme ça.

[Boumako]

d'utiliser geogebra et des tableurs? Si, d'ailleurs sa figure tel quel dans le cours du CNED de 3ieme, avec un problème similaire à celui donné par OP, mais dérivé du problème de khawarizmi.
et représenter des droites affines est aussi du programme de 3ieme.

Ce logiciel est peut être utilisé par certains professeurs, mais il n'est pas inscrit au programme officiel de mathématique. Placer une figure géométrique dans un repère orthonormé non plus.

[pseudoarallonge]

Le pire dans tout ça, c'est que ce sont les vacances scolaires!!
Ce fil va surement s'arrêter sans savoir ce qu'avait en tête ce fichu prof

[untruc]

Ce logiciel est peut être utilisé par certains professeurs, mais il n'est pas inscrit au programme officiel de mathématique. Placer une figure géométrique dans un repère orthonormé non plus.

à un moment faut pas exagérer. Dessiner des courbes affines est bien au programme. Le cours du cned de 3ieme est bourré de graphes de fonction.
tout ce qu'on dit est que l'aire du rectangle ABCD est le produit des coordonnés du point C. C'est à toi de construire le cheminement pour lui montrer que c'est trivial.

leur prof n'utilise pas geogebra, c'est pas grave: Il leur a dit, faites ca avec un tableur. Donc il doit utiliser le tableur. Si toi, en tant que soutient à domicile, tu sais utiliser geogebra, tu peux aussi lui montrer au petit gamin comment on fait avec geogebra. Il apprendra que son ordinateur, sert à autre chose que d'aller sur facebook. Et d'ailleurs facebook est pas programme.

tu n'as pas d'ordi, le cned préconise que tu dessines des cas, et calcule leur aire à la main.

[kazuko]

Le problème avec les graph c'est qu'ils viennent à peine de découvrir les graphiques à travers le chapitres des fonctions...

[Boumako]

Dans la question initiale il n'est nullement question d'utiliser un tableur ou un logiciel, pourquoi vouloir le justifier à tout prix ? Et pourquoi citer le CNED en exemple ?
Ta réponse n'est pas adaptée au programme, et ça s’arrête là, inutile de tergiverser et de continuer à sortir des arguments qui n'ont rien à voir avec le sujet.

[kazuko]

Donc clairement, est-il possible d'utiliser géogébra en 3ème ? On pourrais faire au plus simple, en entrant simplement la fonction : x --> -2x²+21, puis en déterminant les coordonnées du sommet avec la fonction Extremum du logiciel.

[pseudoarallonge]

Et que pensez-vous de ça ?

Soit un rectangle de longueur 21 et de largeur x.
On découpe ce rectangle en trois rectangles de même largeur x
Le premier de longueur 21-2x, le deuxième et le troisième de longueur x ( ce sont donc deux carrés).

Si 21-2x > 2x ou si 21-2x< 2x, alors les deux carrés auront une aire supérieure au premier rectangle.

Si 21-2x=2x alors l'aire du premier rectangle est pile poil égale à celle des deux carrés.
On a donc trouvé que l'aire est maximale si 21-2x=2x soit 4x=21 soit x=5,25.

Cela tient la route pour vous ?

[untruc]

Donc clairement, est-il possible d'utiliser géogébra en 3ème ? On pourrais faire au plus simple, en entrant simplement la fonction : x --> -2x²+21, puis en déterminant les coordonnées du sommet avec la fonction Extremum du logiciel.

de une, je n'ai pas dis "il FAUT" utiliser geogebra. de deux, si vous lisez OP, vous noterrez qu'il indique que le prof demande à utiliser un tableur. Tous les moyens sont bon pour eveiller la curiosité de l'élève.

[untruc]

Dans la question initiale il n'est nullement question d'utiliser un tableur ou un logiciel, pourquoi vouloir le justifier à tout prix ? Et pourquoi citer le CNED en exemple ?
Ta réponse n'est pas adaptée au programme, et ça s’arrête là, inutile de tergiverser et de continuer à sortir des arguments qui n'ont rien à voir avec le sujet.

je te cite, en m'armant du cours de 3ieme que j'aiu sous la main. Je présume, que ce qui est marqué dans ces pdf est "au programme".

[kruener1]

Bonsoir,
On est en 3ième et en début d'année. Pas en Terminale S.
Le prof recommande de faire un tableau de valeurs.
On est en cours de mathématique et pas d'informatique.

Conclusion: on laisse les courbes, les dichotomies, les calculatrices et les ordinateurs.

On attend de l'élève qu'il sache poser une inconnue x, longueur AB et écrire Aire = 21.x - 2.x².
Puis qu'il dresse le tableau en essayant des valeurs:
x=3 Aire=...
x=4 Aire=...
...
x=7 Aire=...
Et qu'il observe ce qui se passe en calculant à la main. Qu'il en déduise où est la solution, en affinant les calculs ...

[kazuko]

En affinant les calculs pour arriver à x=5.25 ! Un peu tiré par les cheveux. Nous ne sommes pas dans le cas où x=1 ou x=2 ou tout autres entier.

[kruener1]

En affinant les calculs pour arriver à x=5.25 !

Oui ! L'élève doit apprendre le bon sens. Une fois qu'il a calculé pour x=4, 5 et 6, qu'est ce qu'il se passe pour x=5,5 ?
Tiens c'est la même Aire que pour x=5 ?!!
Et ainsi de suite ...