Limites de suite

[Casillas38]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un exercice qui me pose problème ....



Voici l'énoncé :


Répondre par vrai ou faux, par une démonstration ou par un contre-exemple :


1) si lim f(x) = +oo et lim g(x) = -oo alors lim f(x)/g(x) = -1

2) si lim f(x)/g(x) = 2, alors il existe A réel tel que f(x)>>g(x) pour tout x>>A

3) si lim f(x)/g(x) = 1, alors il existe A réel tel que f(x)>>g(x) pour tout x>>A

Dans les questions 1, 2 et 3 ; x tend vers +oo


4) lim (x^3-x)/(x-Vx) = 0 (ici x tend vers 0)


Pour la question 1) on obtient une forme indéterminée donc lim f(x) / g(x) ne peut pas être égale à 1

Mais je ne suis vraiment pas sur de ça....


Pourriez vous m'aider ?
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[Noct]

Pour la question 1) on obtient une forme indéterminée donc lim f(x) / g(x) ne peut pas être égale à 1

Non , forme indéterminée ne veut pas forcément dire qu'il n'y a pas de limite. Cela veut simplement dire que l'on ne peut pas déterminer l'existence ou non et la valeur s'il y a lieu de cette limite par simple composition ou opérations sur les limites. Il faut "développer" le calcul pour le savoir.
peut être égal à -1. Mais tu peux facilement exhiber un contre-exemple , pour montrer que cela n'est pas toujours vrai.

[Casillas38]

Aah d'accord

Je suis pas sure mais je pense que si :

on pose f(x) = Vx donc sa limite est bien égale à +oo

Cependant la limite f(x)/g(x) ne peut pas être égale à -1 puisque une racine carrée ne peut pas être négative.

[Noct]

Je suis pas sure mais je pense que si :

on pose f(x) = Vx donc sa limite est bien égale à +oo

Cependant la limite f(x)/g(x) ne peut pas être égale à -1 puisque une racine carrée ne peut pas être négative.

Tu as dit ce qu'était f mais tu n'as jamais dit ce qu'était g , donc parler de f(x) /g(x) n'a pas de sens ici.
Tu dois trouver une fonction g qui tende vers telle que le rapport f(x)/g(x) ne tende pas vers en

[A voir en vidéo sur Futura]

[Casillas38]

Il y a plein de possibilités pour que lim g(x) = -oo

Je peux dire que g(x) = -x

[Noct]

Oui. Mais si tu prenais , alors on a bien , donc il fallait bien comprendre que n'importe quelle fonction ne marchait pas en contre-exemple.

[Casillas38]

Ah oui d'accord, je comprends

Je peux garder g(x) = -x donc c'est bon?

[Noct]

Je te laisse répondre. Quelle est la limite de f(x)/g(x) dans ce cas ?

[Casillas38]

On trouve lim f(x)/g(x) = 0

[Noct]

Oui, tout à fait.
Ensuite , pour la 2, 3 , et 4. Penses-tu que les affirmations sont vraies ou fausses ?

[Casillas38]

Pour la 2 et la 3 je ne vois vraiment pas comment faire...
Je pense pour la 2) qu'il faudrait trouver un fonction f(x) dont la limite vaut 2 et une fonction g(x) dont la limite vaut 1et donc on trouverait lim f(x)/g(x) = 2 ; par contre je ne vois vraiment pas comment trouver ces fonctions...


Et pour la 4) d'après la calculatrice je sais que l'affirmation est fausse mais je ne vois pas comment le démontrer... J'ai essayer par factorisation mais ça ne donne rien..

[gg0]

je ne vois vraiment pas comment trouver ces fonctions...

Même des fonctions constantes ?
Et pourquoi pas des fonctions qui tendent vers 0 avec g(x)=2f(x) ??

Pour la 4, tu pourrais simplifier, il y a des factorisations évidentes au numérateur et au dénominateur.

Cordialement.

NB : Je ne sais pas quel est le sens mathématique du symbole >> qui apparaît aux questions 2 et 3.

[Noct]

Pour la 4) , la factorisation est bien la bonne solution , en factorisant en haut et en bas par x , on lève l'indétermination.

Je pense pour la 2) qu'il faudrait trouver un fonction f(x) dont la limite vaut 2 et une fonction g(x) dont la limite vaut 1et donc on trouverait lim f(x)/g(x) = 2 ; par contre je ne vois vraiment pas comment trouver ces fonctions...

Et que fais-tu de la partie "alors il existe A réel tel que f(x)>>g(x) pour tout x>>A" ? As-tu compris ce que cela signifiait ?

[Casillas38]

Les signes >> signifient supérieur ou égal ^^ Je n'ai pas trouvé d'autre façon de l'écrire.

Pour la 4, après factorisation, je trouve lim x(x²-1) / x(1-1/Vx) = "-1/-oo" et donc lim = 0
Mais la calculatrice ne me donne pas les même résultats...


Par contre pour la 2) je ne comprends pas la partie "alors il existe A réel tel que f(x)>>g(x) pour tout x>>A"

[gg0]

Pour tu aurais pu utiliser >=.

la limite est bien 0. Sur ta calculatrice, si tu prends x très petit (disons inférieur à 0,0000001), la calculatrice néglige le x³ dans le calcul du numérateur, ce qui fausse le calcul.

Pour "alors il existe A réel tel que f(x)>=g(x) pour tout x>=A" c'est très clair : On peut trouver un nombre tel que quand x est plus grand, f(x) est systématiquement supérieur à g(x). Si tu reviens à la définition des limites (même intuitive) tu peux savoir (2 est plus grand que 1).

Bonne réflexion !

[Casillas38]

Mais je n'arrive pas à trouver des fonctions pour lesquelles lim f(x)/g(x)=2 ; il y a trop de possibilités :s

[gg0]

Trop de possibilité ou aucune ?

Cherche un peu seul ...