Complexes et suites

[Joy1982]

Bonjour a tous
Voici mon petit problème
On considère les nombres complexes Zn tels que Z0=1 et Zn+1=(1+i racine de 3)Zn pour tout entier naturel n

On me demande de calculer le module et un argument du nombre complexe (1+i racine de 3)
je trouve je trouve 2 pour le module et pi/3 pour l'argument.

Jusque la tout va bien.


Ensuite on me demande de trouver la forme algébrique et la forme trigo de Z1; Z2 et Z3

pour moi Z1=(1+i racine de 3) * Z0 donc Z1=(1+i racine de 3) * 1 donc Z1=(1+i racine de 3)

pour Z2=(1+i racine de 3) * Z1 donc Z2=(1+i racine de 3) * (1+i racine de 3)
donc Z2= (1+i racine de 3)²=1²+ 2(1+i racine de 3)+(i racine de 3)² donc Z2=-2+2i racine de 3

Pour Z3=(1+i racine de 3) * Z2 donc Z3=(1+i racine de 3) * (-2+2i racine de 3)=(1*-2)+(1*2i racine de 3)+((i racine de 3)*(2i racine de 3))
donc Z3=-2+2(i racine de 3)²

Suis je sur la bonne route ? Dois je encore simplifier Z3

Merci pour votre aide
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[gg0]

Ben oui, et tu le sais. Pourquoi ne termines-tu pas ton calcul ?
En plus, avec la forme trigo, tu pourras vérifier ! Donc tu n'as pas besoin de nous, simplement, tu fais l'enfant : "regarde maman ! C'est bien ?"
Et tu te prives de la confiance qu'on acquiert en faisant seul et bien.

Cordialement.

NB : Attention aux erreurs de copie : " (1+i racine de 3)²=1²+ 2(1+i racine de 3)+(i racine de 3)²" Ce qui est en gras est évidemment faux, mais ce n'est pas le calcul que tu as fait, heureusement.

[Joy1982]

j'ai presque 35 ans et je reprends mes études en solo par correspondance (donc sans prof) tout cela après mes 50 heures de travail par semaine
Donc franchement j'ai autre chose a faire que de faire l'enfant
mais merci de juger une fois de plus les gens sans savoir pourquoi ils viennent sur un forum

[Joy1982]

Pour ceux qui veulent bien m'aider sans me juger
est ce que Z3=-2+2(i racine de 3)² peut être égal a -2+2*(-1*3) = -2-6 =-4
dans ce cas ma suite n'a plus de sans puisque je n'ai plus de forme i racine de 3

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je te chinais, parce que tu calculais parfaitement et que tu ne te faisais pas confiance ! Pour moi, tu n'avais pas besoin de conseils à cette étape.
Mais tu t'es arrêté trop tôt : "-2-6 =-4" ?? Tu y crois vraiment ?
Bon, mettons ça sur le compte de ton énervement (encore une fois, pourquoi s'arrêter en chemin ?). Effectivement, il n'y a plus de i ni de dans Z₃. Et alors ? Quant tu fais -2-6=-8, il n'y a plus de 2 et de 6.
Et en faisant la deuxième partie (forme trigonométrique), tu verras pourquoi (un dessin aussi est utile, surtout si tu as dans tes cours l'interprétation graphique de la multiplication par un complexe - si tu n'as pas, demande, je t'expliquerai).

Cordialement.

[Joy1982]

mouais je suis désolé aussi mais c'est parce que je me donne du mal et je coince souvent au niveau des calculs de base et je doute.
donc finalement je trouve
|Z1|=2 arg(Z1)=pi/3 forme trigo 2 (cos pi/3 + i sin pi/3)
|Z2|=4 arg(Z2)=2pi/3 forme trigo 4 (cos 2pi/3 + i sin 2pi/3)
|Z3|=8 arg(Z3)=pi frome trigo 8 (cos pi + i sin pi)
Merci
je vais mettre tout ça sur une figure et je devrais être pas trop mal
Bon dimanche a vous

[gg0]

Ce qui est intéressant à voir, c'est que


et on peut montrer (preuve par récurrence) que plus généralement


D'autre part, les propriétés des modules et arguments montrent que


Ce qui donne pour n=3, et connaissant la forme trigonométrique de , celle de , que tu as trouvée et qui confirme (on connaît le sin et le cos de pi) le calcul par la forme algébrique.

Cordialement.