Sens de variation d'une suite.

[Pierre-63]

Bonjour j'ai un exercice de maths sur les suites et je suis actuellement bloqué sur une question. Voici l'exo :
U est la suite définie pour tout entier naturel n, n≥1, par :
Un=2^n/n²
a) Exprimer, pour tout entier n, n≥1, Un+1/Un -1 en fonction de n.
b) Démontrer que la suite U est croissante à partir du rang n=3.

Pour la a) j'ai trouvé (n²-2n-1)/(n+1)²
Pour la b) j'ai calculé la dérivée, je trouve 4n(n+1)/(n+1)², seulement c'est supérieur à 0 sur R+ et non sur [3;+l'infini], donc la fonction serait croissante sur R+, ce qui ne marcherait pas !

Merci d'avance pour votre aide
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[PlaneteF]

Bonjour,

Pour la b) j'ai calculé la dérivée, je trouve 4n(n+1)/(n+1)², (...)

... La dérivée de quoi et pour quoi faire ?

Ici la réponse à la question b) en utilisant la question a) est quasi immédiate.

Cordialement

[Pierre-63]

Je me disais je calculerai la dérivée pour faire une étude signe et donc ensuite connaître le sens de variation. J'aurai pensé avoir f'(x) supérieur à 0 à partir de x=3 mais ce n'est pas le cas.

[PlaneteF]

Je me disais je calculerai la dérivée pour faire une étude signe et donc ensuite connaître le sens de variation. J'aurai pensé avoir f'(x) supérieur à 0 à partir de x=3 mais ce n'est pas le cas.

Mais c'est quoi ?? ... (ce n'est pas à nous de deviner )

De toute manière comme je te l'ai dit, la réponse est archi simple en utilisant la question a)

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[Pierre-63]

Un=f(n), f(n) est définie également pour x≥1. On étudie la fonction f pour connaître les variations de la suite. Donc en calculant la dérivée de cette fonction cela devrait pouvoir aussi marcher non ?

[PlaneteF]

Un=f(n), f(n) est définie également pour x≥1.

Alors pour toi, lorsque que tu calcules la dérivée suivante , tu trouves ceci :

Pour la b) j'ai calculé la dérivée, je trouve 4n(n+1)/(n+1)²

Sinon,

Donc en calculant la dérivée de cette fonction cela devrait pouvoir aussi marcher non ?

Ben déjà il faudrait calculer correctement cette dérivée, ... ensuite oui mais ce n'est pas du tout l'esprit de l'exercice qui te proposes de répondre quasi instantanément à la question b) simplement en utilisant la question a)


Cdt

[Pierre-63]

Non je trouve 4n(n+1)/(n+1)^4 pour ((n²-2n-1)/(n+1)²)', qui correspond à Un+1/Un -1.

[Pierre-63]

Du coup f(n) serai la fonction tel que Un+1/Un -1= f(n)

[PlaneteF]

Non je trouve 4n(n+1)/(n+1)^4 pour ((n²-2n-1)/(n+1)²)', qui correspond à Un+1/Un -1.

Du coup f(n) serai la fonction tel que Un+1/Un -1= f(n)

Mais quel est l'intérêt de se taper ce calcul de dérivée tout ça pour déterminer le signe d'une expression qui est évident

Cdt

[gg0]

Quel rapport entre la croissance de cette fonction et celle de la suite ?
Aucun ? ben alors on laisse courir, on ne fait pas des calculs pour rien.
Un rapport ? on l'utilise en faisant des maths (application de règles).

Dans tous les cas, f croissante sur R+ ne pose aucun problème.

Cordialement.

[Pierre-63]

Bah je ne vois pourquoi on nous fait calculer Un+1/Un -1. Comment il peut nous servir à démontrer que la suite est croissante à partir de n=3 ?
Merci

[PlaneteF]

Bah je ne vois pourquoi on nous fait calculer Un+1/Un -1. Comment il peut nous servir à démontrer que la suite est croissante à partir de n=3 ?

Ben tout simplement, si tu démontres que , ce qui est évident pour , ... et bien du coup tu démontres que . La suite étant bien évidemment strictement positive cela donne bien

Cdt

[Pierre-63]

D'accord donc ni de calcul de la dérivée, ni de tableau de variation ? Juste une étude de signe ?

[PlaneteF]

D'accord donc ni de calcul de la dérivée, ni de tableau de variation ? Juste une étude de signe ?

M'enfin si l'on te demande par exemple le signe de , tu ne vas tout de même pas calculer la dérivée et faire un tableau de variation pour y répondre ?!!

Ici ce n'est guère plus compliqué !

Cdt

[Pierre-63]

C'est bon merci j'ai fait une étude de signe en factorisant pour trouver les deux racines et comme cela prouver que tous les termes sont > 0.
Merci

[PlaneteF]

C'est bon merci j'ai fait une étude de signe en factorisant pour trouver les deux racines et comme cela prouver que tous les termes sont > 0.

A partir de l'expression de que tu as donnée, même pas besoin de déterminer de quelconques racines.


En effet on a :

Si l'on suppose , on a alors , et donc , et donc


Cdt

[PlaneteF]

@Pierre-63,

Deux petites remarques supplémentaires :

1) Quand on calcule , on obtient tout d'abord

Au numérateur on reconnait la forme , ce qui permet ainsi de factoriser. Tu parlais tout à l'heure de racines, et ben là avec la factorisation tu les as directement ! (d'où très souvent l'avantage de factoriser)


2) Dans un cas plus général, si tu dois étudier le signe de et que cela nécessite de passer par une dérivation. Si tu sais que par exemple que , dans ce cas ne va pas t'amuser à dériver . En effet tu sais alors que est du signe de , donc il suffit de dériver seulement, ce qui simplifie considérablement les calculs !


Cdt

[Pierre-63]

D'accord je prends compte de tes remarques.
Merci Planete