Nombre Relatifs / Produit et Somme

[GopithanSVG]

Bonsoir,

Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi : - - = + / + - = - / - multiplier par + = - / nombre pair de facteurs négatifs = + ?
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[Neluge]

Tu peux te l'expliquer par le fait que .
Donc si x et y sont deux nombres positifs, alors ; de même, .
Enfin, . En effet, est l'opposé de -1, donc +1.

[GopithanSVG]

Merci Neluge pour cet explication,mais je ne comprends pas votre raisonnement depuis la deuxième phrase, est-ce que vous pouvez m'expliquer un peu plus précisément, svp ?

[Neluge]

J'ai déja fait du plus précisément que je peux ^^
La règle "- + = -" signifie que, si x et y sont positifs, alors , cad en francais : pour multiplier -x et y, il suffit de multiplier x et y, et on met un signe "-" devant. Idem pour les autres règles. C'est donc ce que j'ai justifié dans mon message précédent.
Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans cette justification ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour GopithanSVG.

La base, c'est la règle des signes (+ par + donne +; + par - donne -; - par + donne -; - par - donne +). Il n'y a qu'une seule bonne raison à cette règle mathématique : C'est la seule qui marche avec les calculs. La justification nécessite un bon niveau de mathématiques, disons après le bac. Mais il existe des illustrations (rappel : on écrit 2 pour +2 quand il n'y a pas de problème de lecture) :
* - signifie enlever, mais aussi dette : Si je dois 100€ et que je possède par ailleurs 250 €, je ne possède en fait que 150€. ma dette est une possession de (-100)€ : 250+(-100)=150. Si on arrête l'euro et qu'on revient aux francs de 1999, disons 6F=1€, alors ma dette est 6*100 = 600 F, ce que j'ai avant remboursement 6*250=1500F et ce que je possède vraiment 1500-600=6*250-6*100=900€. Tu vois qu'en multipliant par 6 (+6) on a conservé le signe - (+ par - donne -).
revenons maintenant à enlever : si je t'enlève une dette, tu gagnes son montant; si je t'enlèves une dette de 100€, donc -(-100€), je te donne 100€ (- par - donne +).
* Une illustration géométrique : Dessine un rectangle de longueur 10, largeur 2. Son aire est 20. Si j'enlève 4 à la longueur, j'obtiens un rectangle de 6 sur 2, de 12 de surface. L'aire enlevée est (-4)*2 et aussi -(20-12) (- parce qu'on l'enlève); on voit que (-4)*2=-8.

En fait, ces règles permettent surtout de conserver une propriété bien connue des nombres positif, la "distributivité), qu'on utilise spontanément dès la fin du primaire : Par exemple, pour multiplier 102 par 3, on multiplie 100 (ça donne 300) et 2 (ça donne 6), et on obtient 306. Tu avais bien entendu vu que 102=100+2. Cette règle, écrite avec des lettres, ça donne : a*(b+c)=a*b+a*c.
On veut conserver la même règle avec - : a*(b-c)=a*b-a*c. Ce qui nécessite + par - donne - quand on pense que a est par simplification +a.

Cordialement.

Nb : la généralisation à un nombre quelconque de signes + et moins est simplement la remarque que le + ne change rien, et que deux - se compensent.

[Dynamix]

On peut dire aussis :
_Un plus ne change rien
_Un moins inverse le signe

Il en découle que :
deux moins inversent deux fois le signe , et donc ne changent rien .

[Poincare2poin0]

On apprend la justification de cette règle quand ?

[gg0]

En fait,

quand on rencontre en algèbre post bac la justification de cette règle, on y est tellement habitué qu'on n'y fait pas particulièrement attention. Elle est intégrée dans d'autres. Par exemple, elle est une conséquence de la théorie des anneaux. Elle apparaît comme conséquence dans certaines situations (construction de l'ensemble des entiers relatifs), comme base dans d'autres (théorie des corps ordonnés dans certaines présentations).

Il faut rappeler que c'est au départ une règle pratique, qui est devenue maintenant une conséquence des règles élémentaires sur les ensembles de nombres. C'est ce que Neluge a utilisé au message #2.

Cordialement.

[le_STI]

Tu peux te l'expliquer par le fait que .
Donc si x et y sont deux nombres positifs, alors ; de même, .
Enfin, . En effet, est l'opposé de -1, donc +1.

J'ajouterai que :

si on défini un nombre A de nombres négatifs appelés n1, n2, ... , nA et un nombre B de nombres positifs appelés p1, p2, ... , pB
alors leur produit peut s'écrire (-1)^A*|n1|*|n2|*...*|nA|*p1*p2* ...*pB
donc le produit sera positif si (-1)^A est positif, c'est à dire si A est un multiple de 2

CQFD

PS: quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment mettre en forme des équations dans mes messages ? (je suis un newbie sur ce forum )

[PlaneteF]

Bonjour,

PS: quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment mettre en forme des équations dans mes messages ? (je suis un newbie sur ce forum )

Tu peux par exemple regarder ici : http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html

Un lien intéressant car plutôt complet : http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

Cordialement

[le_STI]

Merci beaucoup pour le lien planeteF

Petite mise en forme de mes explications en détaillant un petit peu plus :

Soient un nombre A de nombres négatifs appelés et un nombre B de nombres positifs appelés

on sait que (on note la valeur absolue de )

alors leur produit peut s'écrire

donc le produit sera positif si est positif, c'est à dire si A est un multiple de 2.

[GopithanSVG]

c'est le: «(-1) x (-1) est l'opposé de -1 donc + 1.»,que je ne comprend pas.

[le_STI]

Je citerais gg0:

La justification nécessite un bon niveau de mathématiques, disons après le bac.

[gg0]

L'opposé d'un nombre x est le nombre y tel que x+y=0
Si x=-1, quel est le y qui convient ?

[GopithanSVG]

Si x = -1 alors y = 1

Le problème c'est que Neluge dit que : «(-1) x (-1) est l'opposé de -1 donc +1».

Si je reprend cette demonstration à ma manière avec 1 comme « neutre », même si c'est incohérent de le dire :

(+1) x (+1) = -1 ; puisque (+1) x (+1) est l'opposé de 1.

[gg0]

Désolé,

je ne comprends pas ce que tu racontes. Et 5 mois pour réagir !!!

Mais je ne chercherai pas à justifier Neluge. Je t'ai donné les raisons (messages #5 et #8), je t'ai fait vérifier que " l'opposé de -1 donc +1" est correct. Le reste ne me concerne pas.

[invite02232301]

Bonjour,
Je me permet d'insister sur un point fondamental, c'est que l'on définit la multiplication comme ca. On CHOISIT que -a.b=-(a.b) et on a de bonne raisons pour faire ce choix et pas un autre, parce que c'est le seul raisonnable i.e qui assure l'associativité ou la distributivité.
Par exemple, supposons que l'on ait deja defini la multiplication sur les entiers naturels (i.e les positifs) si l'on veut que la règle a.(b+c)=ab+ac reste vrai pour l'extension de la multiplication à tous les entiers, on doit avoir a(0+0)=a.0+a.0=a.0, autrement dit on doit necessairement avoir a.0=0 pour tous les entiers.
D'autre part, on doit aussi avoir a(1-1)=a.0=a.1+a.(-1) et necessairement (-1).a doit étre égal à -a. Enfin si a>0, alors (-1)(a.b)=((-1).a).b=(-a).b=-(a.b) si l'on veut garantir l'associativité.

En résumé, on voit que si l'on veut conserver les propriétés fondamentales de l'addition et multiplication de N dans Z, alors on a pas le choix, il FAUT définir a.b comme -(|a|.b) si a<0 et b>0, et (|a||b|) si les deux sont négatifs (et bien sur la définition usuelle si a et b sont positifs).
On aurait pu faire un autre choix. Mais ca nous aurait fait perdre au moins l'associativité ou la distribuvité, ce qu'on ne veut absolument pas.

[gg0]

MiPaMa,

Entièrement d'accord avec ce que tu dis, mais la règle moins par moins = plus date du treizième siècle et était connue des banquiers de cette époque; qui ne connaissaient rien à l'algèbre (et pour cause), ce qui signifie qu'elle a un substrat concret. Les raisons algébriques ne sont convaincantes que pour les algébristes.

Cordialement.