Dérivable en 0 ou non ?

[Toad4]

Bonjour,

J'ai un petit problème avec la notion de dérivabilité que je pensais avoir comprise.

Je prends la fonction f telle que f(x) = 3 x rac(x)

Ma question est de savoir si cette fonction est dérivable en 0.

1ere chose : En regardant la courbre sur geogebra. On voit qu'en 0, ce serait une tangente horizontale. Pas verticale. Donc la fonction serait dérivable en 0. (et le nombre dérivé serait f'(0)=0

2ème chose : Avec le taux d'accroissement. Je trouve 3 rac(h) qui tend en effet vers 0 quand h tend vers 0.

Mais : Le calcul de la dérivée donne 3 rac(x) + (3x)/(2rac(x)) où x=0 est une valeur interdite. Après je connais l'astuce de remplacer x/rac(x) par rac(x), mais ai-je le droit ? Ma question est aussi posée car sur geogebra quand je rentre la fonction f(x) , qu'il calcule f'(x) et qu'ensuite je demande f'(0), il est marqué "non défini" dans la colonne de gauche.

Bref, du coup, dérivable en 0 ou pas ?

Merci pour votre aide.
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[gg0]

Bonsoir.

Tu ne peux bien évidemment pas utiliser le calcul des dérivées avec les formules, puisqu'il y a une fonction qui n'est pas dérivable en 0.
Cependant, tu vois qu'il y a une transformation (illicite pour x=0) qui donne le bon résultat, même ensuite si on remplace x par 0. C'est que la fonction que tu trouves (9/2 de racine de x) est définie en 0 et y vaut la dérivée en 0 de f. Donc c'est bien la dérivée de f sur [0,+oo[.

Le fait que rac(x) ne soit pas dérivable en 0 ne dit rien sur les fonctions qu'on peut obtenir par des calculs (le cas le plus simple est son carré !) à partir d'elle.

Cordialement.

[Toad4]

Merci je pense avoir compris.

J'en profite pour rajouter une question bête histoire d'etre sur. Parler du domaine de dérivabilité d'une fonction f, et parler du domaine de définition de la fonction f', c'est bien exactement la même chose ?

[Médiat]

Bonjour,

J'en profite pour rajouter une question bête histoire d'etre sur. Parler du domaine de dérivabilité d'une fonction f, et parler du domaine de définition de la fonction f', c'est bien exactement la même chose ?

Oui, mais avec une "subtilité" (cf.la fonction logarithme, si vous connaissez, sinon je vous donnerai un autre exemple, moins naturel).
Subtilité importante à comprendre, d'ailleurs, sur la notion de fonction (je vous laisse y réfléchir en attendant).

[A voir en vidéo sur Futura]