Equation avec racines carrées

[Sky365]

Bonjour,

J'ai une équation à résoudre, mais je n'y arrive pas, j'ai tout essayé :

√(x+1) + √(x+6) = 5

Merci d'avance.
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[Médiat]

Bonjour,

En multipliant par la quantité conjuguée, on simplifie énormément la question

[Sky365]

Je ne comprends pas, je suis en Première S.

[pi-r2]

la quantité conjuguée ça consiste à remplacer le + par - : √(x+1) -√(x+6)
essaie de multiplier par ça.

[A voir en vidéo sur Futura]

[joel_5632]

Bonjour

Elève au carré, isole la racine qui reste, réélève au carré, résous, vérifie

[Sky365]

Je ne comprends pas où on veut en venir avec la quantité conjugué vu qu'on a pas de racine carrée au dénominateur, en plus, on a pas vu ça en cours.
Pour répondre @joel_5632, je dois commencer comme ça :

[ √(x+1) ]² = 5² +[- √(x+6) ]²

?

[joel_5632]

non, si a+b=c on a pas a²+b²=c², c'est ce que tu as écris ...

Elève au carré chaque membre:

Si a+b = c alors (a+b)² = c²

(√(x+1) + √(x+6))² = 5²

[Sky365]

(√(x+1) + √(x+6))²

C'est une identité remarquable ?

[joel_5632]

c'est (a+b)² oui

[Sky365]

Ce qui donne

√(x+1)² + 2*√(x+1)*√(x+6) + √(x+6)² = 25

Mais comment développer 2*√(x+1)*√(x+6) ??

[joel_5632]

Ne modifie pas ce terme, mais isole le d'un coté du signe =
2*√(x+1)*√(x+6) = ?

[Sky365]

√(x+1)² + 2*√(x+1)*√(x+6) + √(x+6)² = 25

x+1 + 2*√(x+1)*√(x+6) + x+6 = 25

2*√(x+1)*√(x+6) = 25 - x - 1 - x - 6

2*√(x+1)*√(x+6) = -2x + 18

C'est ça ?

[joel_5632]

oui

Maintenant élève chaque coté du signe = (on dit chaque membre) au carré

[Sky365]

2*√(x+1)*√(x+6) = -2x + 18

[ 2*√(x+1)*√(x+6) ]² = ( -2x + 18 )²

4x + 1x + 6 = 4x² − 72x + 324

5x + 6 = 4x² − 72x + 324

Je continue en passant le membre de droite à gauche ou il y a une erreur ?

[joel_5632]

tu t'es trompé sur le calcul de
[ 2*√(x+1)*√(x+6) ]²

je te rappelle que (abc)² = a²b²c²

[Sky365]

Reprenons,

[ 2*√(x+1)*√(x+6) ]² = ( -2x + 18 )²

2² * (x+1) * (x+6) = ( -2x + 18 )²

4 * (x²+7x+6) = 4x² − 72x + 324

4x² + 28x + 24 = 4x² − 72x + 324

C'est juste ?

[Sky365]

100x-300=0
100x=300
x=300/100
x=3

C'était du sport, merci beaucoup Joel !

[joel_5632]

Il faut vérifier que cette solution est correcte en l'introduisant dans l'équation de départ car on a raisonné par implication et pas par équivalence.

C'est lié aux élévations au carré
si a=b alors a² = b²

mais la réciproque est fausse
a²=b² n'implique pas a=b, par exemple 2²=(-2)² et 2 différent de -2

C'est important de vérifier car 3 pourrait ne pas être solution de l'équation de départ

Ici, ça marche bien, 3 est solution et on est sur qu'il n'y en a pas d'autres.

[Sky365]

Oui mais j'avais déjà vérifié avant de poster, merci en tout cas