Recurrence suites fractales
Bonjour je suis en terminale S et voici une question d'un dm de maths merci de bien vouloir m'éclairer.
voici tout d'abord l'énoncé: On considère un carré de côté 1 qu'on nomme K0.
On construit un carré extérieur sur le tiers central de chaque côté du carré K0. On obtient ainsi un polygone qu'on nomme K1. Puis on répète la même construction.
Pour tout n appartenant à N on note:
c_n le nombre de côtés du polygone K_n;
l_n la longueur d'un côté de K_n
P_n le périmètre de K_n;
A_n l'aire de K_n.
On a préalablement déterminé:
c_n = 4 * 5^n
l_n = (1/3)^n
P_n = c_n * l_n = 4 * (5/3)^n
voici la question:
En remarquant qu'on obtient K_n+1 en construisant sur chaque côté de K_n un carré de côté de longueur l_n+1, montrer que pour tout n appartenant à N:
A_n+1 = A_n + (4/9) * (5/9)^n
La propriété à démontrer est pour tout n >= 1 A_n+1 = An + 4/9 * (5/9)^n
Initialisation: Vérifions que la propriété est vraie au rang n = 1
Par énoncé A_1 = 13/ 9 et A_0 = 1
A_0+ 4/9 * (5/9)^0 = 13/9
La propriété est initialisée
Hérédité : Supposons que la propriété est vraie pour un certain n => 1 càd A_n+1 = A_n + 4/9 * (5/9)^n
Montrons que A_n+2 = A_n+1 + 4/9 * (5/9)^n
Par hypothèse de récurrence on a:
A_n+1 = An + 4/9 *(5/9)^n
A_n+1 + 4/9 = A_n + 4/9 * (5/9)^n + 4/9
A_n+1 + 4/9 = A_n + 4/9 * (5/9)^n + 4/9 * (5/9)^n
on a bien A_n+2 = A_n-1 + 4/9 * (5/9)^n mais pas (5/9)^n+1
merci de votre aide !
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