Espérance conditionnelle

[SoumZoum]

Bonsoir à tous et à toutes !

Premier message, et déjà à demander de l'aide...roh ces jeunes

Avant tout, je sais pas vraiment si l'espérance conditionnelle relève du lycée, donc dans le doute je poste le message ici.

Alors, j'ai un petit problème avec l'espérance conditionnelle. En fait, c'est un peu plus compliqué que ça. En 2-3 mots, les maths et moi avons vécu une histoire d'amour jusqu'à une séparation d'un commun accord arrivé au lycée ; puis une autre séparation avec l'école arrivé au bac. J'ai repris les études depuis 3 ans, mais du coup j'ai un peu de mal à récupérer certaines lacunes.

DONC, j'ai pas de soucis particuliers avec l'espérance conditionnelle, ou les notions associées. Je peux résoudre des problèmes, toussa, mais on m'a demandé quelque chose que je n'ai jamais fait de ma vie : une démonstration. Deux, pour être exact. Alors du coup, je suis bien embêté. Autant j'ai aucun soucis avec la mise en pratique, autant le côté abstrait est..trop abstrait par rapport à ce que je vois d'habitude.

J'ai bien farfouillé tous mes supports de cours, mais rien ne s'approche de ce que mon prof veut que je lui démontre. (Et c'est la mannie des "reading courses" dans l'école où je suis à l'étranger, AKA "prends ce livre, et tu reviens pour l'exam final")

Je vous mets les énoncés en screenshot. Si jamais vous n'arrivez pas à lire, je trouverais un moyen d'écrire ça sur PC.

Donc, je ne cherche pas à faire faire mes devoirs sur internet hein, l'intérêt c'est justement que je comprenne comment pouvoir traiter ça. C'est la "base" du cours que je "suis", en fait. Donc si je comprends pas comment gérer ce genre de demandes, ben...ça pue
Encore une fois, jamais fait une seule démonstration de ma vie.
Comment je dois procéder ? Il m'a demandé une "preuve mathématique". Je dois montrer avec un exemple ? En assignant des valeurs aux variables ?
Parce que là, en l'état, j'arrive pas à visualiser le truc.

Merci à toute âme charitable qui me viendrait en aide !



Les phrases écrites : "Variables aléatoires indépendantes. ?????"
P(Xi<x) = Fi(x) ne dépend pas de i ; x appartenant aux réels
démontrer la dernière ligne


"Dans le même esprit que 1."
"Considerer l'hypothèse où p = 1/2 puis p > 1/2 ; p > 1/2"
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[minushabens]

Tes images sont illisibles. Peux-tu expliquer ce que tu dois démontrer?

[SoumZoum]

D'accord mea culpa. Je m'en doutais, j'ai moi-même du mal à les lire. J'ai essayé de les écrire dans le message mais je trouvais pas tous les symboles.. Je trouve un moyen de le faire et j'édite le message

[minushabens]

en insistant je suis arrivé à lire l'énoncé. C'est dû à la linéarité de l'espérance conditionnelle. Si tu ne sais pas ce qu'est une démonstration, ça va t'être difficile d'en écrire une dans les règles. Je ne peux que te conseiller de passer un peu de temps à lire un cours de probas, et surtout les démonstrations.

[A voir en vidéo sur Futura]

[SoumZoum]

Il semblerait que je ne puisse plus éditer les messages..

Voici donc :

1. x₁,x₂,.....x_n étant des variables aléatoires indépendantes

P(X_i≤x) = F_i(x) ne dépendant pas de i, x∈ℝ
X_i: o (avec une barre en dessous) ∈ℝ
x→F_i(x)

Démontrer que E[x₁+x₂+.....x_n|x₁+x₂+.....x_n-1] = E[X₁] + x₁+x₂+.....x_n-1

2. Dans le même esprit que le 1.
P(X_i = +1) = p
P(X_i = -1) = 1-p
Démontrer E[x₁+x₂+.....x_n|x₁+x₂+.....x_n-1] = 2p-1 + x₁+x₂+.....x_n-1

Considérer aussi les hypothèses où p = 1/2, p < 1/2 et p > 1/2

[minushabens]

Tu peux déjà remarquer que 2) est un cas particulier de 1) puisque dans ce cas E(Xi)=2p-1 si je détaille : E(Xi) = 1 x p + (-1) x (1-p)

[SoumZoum]

Ah ! J'avais pas vu ton message précédent.. Ben les cours de proba, j'en avale chaque jour depuis quelques semaines. Je reussis tous les cas pratiques que je trouve, mais quand on passe sur des démos, j'ai l'impression d'être de retour à la case départ.
Mais je vais essayer de trouver un "manuel" de démo, voir simplement jeter un oeil à des démos plus basiques, genre 2nde. Le concept des démonstrations pourrait rentrer plus facilement.

Pour le cas particulier E[Xi] ouaip, j'avais vu ça ; mais je savais pas quoi en faire.

Bref, je vais aller voir à carrefour s'ils cherchent pas un hôte de caisse, et je ferai des proba entre 2 clients
Les maths, quelle magie ^^ Quand tu réussis, tu te sens "cro fort" ; quand tu loupes, tu te sens moins que rien

[Tryss2]

Sinon, l'espérance conditionnelle, c'est probablement la notion la plus délicate de la théorie des probabilités, et ça n'est clairement pas niveau lycée : c'est un truc difficile qui demande d'avoir vraiment mis en place une théorie des probabilités solides.

Bon, même si dans le cas des variables aléatoires discrètes, ça devient plus sympathique.


Déjà, commençons par le commencement,

Soient X,Y et Z trois variables aléatoires, et a un nombre réel, que vaut E[ aX+Y | Z ]?

On suppose maintenant X et Z indépendantes, que vaut E[ Z | Z ] ? que vaut E[ X | Z ] ?

[SoumZoum]

Bonsoir à tous,

Tout d'abord, désolé de m'être évaporé (damn, déjà un mois !). J'étais pas mal occupé et surtout, j'avais besoin de revoir quelques notions.

Donc, pour le commencement.
Si X et Z sont indépendantes, E[X|Z] = E[X], E[Z|Z] = Z (pas sûr mais ça me paraît logique)
Pour E[aX+Y|Z] je dirais aE[X|Z] + E[Y|Z]

Sinon, pour le premier problème, je dirais que si X1,X2...Xn sont indépendantes, alors c'est logique que E[X1...Xn|x1...xn-1] = x1...xn-1 + E[Xn] ;
E[X1|x1..xn-1] + E[X2|x1...xn-1] + E[Xn|x1..xn-1]
où [Xi|x1..xn-1] = 1.P[Xi=1|x1..xn-1] + (-1).p[Xi=-1|x1..xn-1]
Et vu qu'elles sont indépendantes, [Xi|x1...xn-1] revient à [Xi|xi] donc à xi.
Donc ça nous laisse avec x1...xn-1 + E[Xn]
Vu que le "sachant que" s'arrête à n-1, et qu'elles sont toutes indépendantes, on a aucun idée de ce que pourrait être Xn. Et ça nous mène au 2ème problème, où on "développe" juste
E[Xn] = 1p + (-1)(1-p)
= p - (1-p)
= 2p - 1
(comme l'avait si justement fait remarquer minushabens).
Et du coup, si on considère que p = 1/2, E[Xn] = 0 (2*0.5-1)

Par contre, concernant p<1/2 et p>1/2, c'est le même principe mais je ne sais pas comment le modéliser. Si je remplace p<1/2 par disons 0.3 et donc 1-p par 0.7, j'arrive à développer E[Xn], mais si je laisse tel quel je n'ai aucune idée de comment m'y prendre.

Merci encore !