TERMINAL S DM MATHS : Exponentielle "avec une fonction auxilliaire"

[invitebcd672a2]

Bonjour, j'ai un DM de maths à rendre pour demain.

Voici l'énoncé : Soit f la fonction définie sur [0 ; +infini[ par :
f(x) = (xe^-x)/(x²+1)

1) On considère la fonction g définie sur [0 ; +infini[ par :
g(x) = x^3+x²+x-1
Établir que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique "alpha" dans l'intervalle [0;1] et que g(x) > 0 sur [1 ; +infini[ .
En déduire le signe de g(x) sur [0 ; +infini[ .

2) a) Montrer que pour tout x de [0 ; +infini[ , f'(x) et g(x) sont de signes contraires.
b) En déduire les variations de f sur [0 ; +infini[.

Je bloque à la question 2)a)
j'ai un problème pour calculer f'(x)

f(x) = (xe^-x)/(x²+1)

f'(x) = (u'v)-(uv')/(v)^2
avec : (j'ai calculé u' avec la formule du produit)
u = e^-x
u' = xe^-x
v = x^2 + 1
v' = 2x

ce qui me donne : [e^-x(x^2+1) - (xe^-x)(2x)] / (x^2 +1)^2
=[(x^2e^-x) +( e^-x) - (2x^2e^-x)] / (x^2 +1)^2

Et la je bloque. Je n'arrive pas à prouver que f'(x) et g(x) sont de signes contraires.
Merci d'avance pour votre aide !
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[ansset]

f'(x) = (u'v)-(uv')/(v)^2
avec : (j'ai calculé u' avec la formule du produit)
u = e^-x
u' = xe^-x
v = x^2 + 1
v' = 2x

!

c'est ça qui est faux
u=xe^(-x) qui est un produit, donc
u'= ?

[invitebcd672a2]

Merci pour ta réponse, j'ai un doute, c'est : u' = e^-x + xe^-x

ou u' = e^-x +x - e^-x ?

j'ai un peu du mal avec les dérivées

[ansset]

Il y a une erreur de signe pour le deuxième terme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebcd672a2]

u' = e^-x +x - e^-x ?

désolée, j'ai un peu du mal avec les dérivées !

[ansset]

oui, je vois.
pourquoi +x-e^(-x)
d'où vient ce signe - ?
il n'y avait qu'un signe à changer dans ta dérivée précédente.
a condition que tu vois pourquoi..
quelle est la dérivée de e^(-x) ???

[invitebcd672a2]

je vais essayer de détailler, mais je pense avoir compris mon erreur !

u = x
u' = 1
v = e^-x
v' = -e^-x

f'(x) = (e^-x) + (-xe^-x)
= e^-x - xe^-x

[ansset]

oui, c'est ça !
il te reste maintenant à reprendre ton développement initial pour le calcul de la dérivée globale.
tu devrais voir apparaitre un polynome très "sympa" au numérateur.
courage

[ansset]

attention juste à l'ecriture car tu ecris f'(x), qui n'est pas le f' de ton exercice,
mais ça tu le sais.

[ansset]

je veux dire que là, tu as calculé le u' de ton exercice principal, on est d'accord ?

[invitebcd672a2]

J'ai juste une dernière question parce que je vois -g(x) apparaitre implicitement mais je ne sais pas comment je suis censée le rédiger ou l'expliquer

donc j'ai pour la dérivée :
u = xe^-x
u' = e^-x - xe^-x
v = x^2 + 1
v' = 2x

au numérateur j'obtiens :
(e^-x - xe^-x)(x^2+1) - (2x)(xe^-x)
= x^2e^-x + e^-x - x^3e^-x - xe^-x - 2x^2e^-x
= -x^3e^-x -x^2e^-x -xe^-x + e^-x

et j'ai au dénominateur : (x^2 + 1)^2

Je vois bien qu'on a -g(x) mais du coup, comment je peux enlever les "exponentielles" pour avoir parfaitement -g(x) ?

Et ce que j'ai le droit d'écrire avec tout ca :

f'(x) = (-g(x)e^-x ) / (x^2 + 1)^2

Merci beaucoup !!

[ansset]

Et ce que j'ai le droit d'écrire avec tout ca :

f'(x) = (-g(x)e^-x ) / (x^2 + 1)^2

Merci beaucoup !!

oui, c'est même une bonne manière de l'écrire.
mais pourquoi veux tu faire disparaitre e(-x).
la question posée porte sur la comparaison des signes de f' et de g.
et tu connais le signe d'une exponentielle tout comme celui de (1+x²)².

[invitebcd672a2]

Oui j'ai fini, et mieux encore , j'ai compris. Merci beaucoup pour votre aide, vraiment !

[ansset]

de rien,
en espérant que tu ais bien répondu à la question 1) sur les signes de g(x) !
Cdt

[ansset]

si jamais tu reviens.
la question 1) n'est pas anodine.
en effet :
g(0)=-1 et g(1)=2
par ailleurs tu peux montrer que g'(x) est tj > 0
donc g est tj croissante et ne peut s'annuler qu'en un seul point a entre 0 et 1
le signe de g change donc entre 0 et a , puis entre a et l'infini. ( négatif , puis positif )
il en va donc de même pour les variations de f. ( à l'inverse bien sur )

[invitebcd672a2]

J'avais déjà fait cela et j'ai fait :
on sait que g(x) est positif sur [a ; +inf[ et négatif sur ]-inf ; a]
donc f(x) croissante sur ]-inf ; a] et décroissante sur [a ; +inf[

Merci encore !

[ansset]

attention, on ne s'interesse qu'à l'intervalle 0,+l'inf....
sinon, c'est faux !

[ansset]

car g(x) a d'autres racines en dehors de cet intervalle.

[ansset]

erreur : désolé.

[invitea54f8d21]

Salut, j'ai aussi cet exercice a faire. Je suis egalement bloqué a la question 2)a) je ne comprend pas " sont de signe contaire ". Si quelqu'un pourrai m'aider. Merci d'avance

[gg0]

Si l'un est positif, l'autre est négatif et réciproquement.
En général, en terminale, on a rencontré l'idée de "signe" d'une expression pour parler du fait qu'elle est positive ou négative.

Bon travail !

[invitea54f8d21]

Oui c'était juste pour être sur, car quand on trace les deux courbe a l'aide de géogébra, on voit bien qu'elle ne sont pas de signe contraire sur l'intervalle demandé. Quelqu'un pourrait-il m'éclairer. Merci d'avance.

[gg0]

Bonjour.

Je ne sais pas ce que tu as tracé, mais si on calcule juste (Soltas avait fini par le faire), c'est évident que f' et g sont de signe contraire sur [0;+oo[.

Cordialement.