question de définition entre "fonction" et "application linéaire"

[bendesarts]

Bonjour,

Je suis dans un cours de physique où l'on utilise que des fonctions mais par contre, on parle aussi d'applications linéaires. Aussi, je me pose la question suivante :
Est-ce que toutes les fonctions sont des applications linéaires ?

A mon sens, la réponse est non pour les raisons suivantes.

La fonction x --> x² de (R dans R) n'est pas une application linéaire car f(x)=x² et f(kx) = k²x² et on n'a pas f(kx)=k f(x) qui est une propriété des applications linéaire.

Mais y a t il des nuances à savoir entre fonction et application linéaire (attention pour un physicien)?

En vous remerciant,

Benjamin
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[Thorin]

De R dans R, les seules applications linéaires continues sont les fonctions de la forme f(x)=ax

[invite6754323456711]

Bonjour,

Je suis dans un cours de physique où l'on utilise que des fonctions mais par contre, on parle aussi d'applications linéaires. Aussi, je me pose la question suivante :
Est-ce que toutes les fonctions sont des applications linéaires ?

A mon sens, la réponse est non pour les raisons suivantes.

La fonction x --> x² de (R dans R) n'est pas une application linéaire car f(x)=x² et f(kx) = k²x² et on n'a pas f(kx)=k f(x) qui est une propriété des applications linéaire.

Mais y a t il des nuances à savoir entre fonction et application linéaire (attention pour un physicien)?

En vous remerciant,

Benjamin

Je dirais qu'une application linéaire est une application (ou fonction) mais une application n'est pas forcément une application linéaire.Une application linéaire est une application entre deux espaces vectoriels qui vérifie les propriétés (conserve la structure d'un ensemble) suivantes :

Soit deux espaces vectoriel E et F sur un corps K

u est une application linéaire ssi




http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_lin%C3%A9aire

Patrick

[lapin savant]

Salut,
cf Thorin pour la réponse à ta question.

Par contre on peut préciser quelques points :
les applications linéaires sont bien évidemment une classe particulières des applications.

On se pose alors la question : toutes les fonctions sont-elles des applications ?
La réponse est non :
- une application associe à chaque élément de A une unique image de B notée y=f(x).

- une fonction associe à chaque élément de A au plus une image de B, que l'on note y=f(x) si elle existe.

La différence est extrêmement subtile : en fait une application de A dans B donne toujours une image, alors qu'une fonction ne donne une image que sur un sous-ensemble de A appelé le domaine de définition de f, noté .
La réciproque de la question posée est vraie : toutes les applications sont des fonctions, avec .

Pour une fonction donnée f : A -> B, il est plus pratique de trouver Df et de travailler avec une application
.

Chose que l'on fait depuis le lycée sans le savoir !


edit : ne m'attaquez pas ! Je ne fait pas la confusion avec les applications bijectives et surjectives...

[A voir en vidéo sur Futura]