Récurrence

[Laz345]

Bonsoir à tous. Est il possible de démontrer uniquement par récurrence Un > 2^n. Avec Un = 3^n / n^2 ??
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[gg0]

Oui, c'est possible ! Essaie !

Une indication : n+1 n'est généralement pas beaucoup de fois n.

Cordialement.

[Laz345]

J'ai bien essayé, tourner et retourner je suis bloquer à cause du n^2 au denominateur dont le passage a n+1 pose problème. Essayez vous aurez peut être le même problème

[Laz345]

J'ai bien essayé, tourner et retourner je suis bloquer à cause du n^2 au denominateur dont le passage a n+1 pose problème. Essayez vous aurez peut être le même problème. Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Et il va être facile de démontrer que le .... est inférieur à 2.

Bon travail !

[Laz345]

Voilà c'est là que ça bloque, on est obligé de sortir du raisonnement par récurrence pour montrer que 3(n/n+1)^2 est plus petit que 2, ce qui est le cas seulement pour n >= 4 . ma question de départ ? J'y arrive en reformulant la question : je parviens à montrer que Un est croissante et donc Un+1>Un > 2^n. Mais ce n'est pas le point de départ de la question ...

[Laz345]

Pardon, j'arrive a montrer par récurrence que (Un+2/Un+1) > 2*(Un+1/Un) ainsi Un+1 > 2*Un > 2*2^n = 2^(n+1) ouff

[gg0]

"on est obligé de sortir du raisonnement par récurrence pour montrer que 3(n/n+1)^2 est plus petit que 2"

Ben, dans la preuve par récurrence, la partie hérédité se fait par tous les moyens logiques. S'il faut démontrer au passage une propriété accessoire, ça fait bien partie de la preuve.

"ce qui est le cas seulement pour n >= 4 ." Non, c'est aussi vrai pour 1 (3/4<2), 2 (4/3<2) et 3 (27/16<2).

[Laz345]

Le terme en question doit être plus GRAND que 2 pardon et c'est pour n >= 5. Pas 4.
Quel est l intérêt de cet exercice sur la récurrence si il faut faire une étude de signe pour s'en sortir. L'inéquation de départ peut facilement être réglé via une étude de fonction. S'il vous vient une idée pour faire sans, je serai curieux de la connaitre. Merci

[gg0]

Effectivement, c'est supérieur à 2 qu'il faut, donc on commence la récurrence à 5 après avoir vérifié que la propriété est vraie pour les entiers de 1 à 5.