Bonjour à tous,
Je suis en Terminale S et nous travaillons en ce moment en spé sur le chapitre: "Divisibilité et congruences". Nous avons fait un exemple sur la notion de diviseur, exemple sur lequel je bloque, dont l'intitulé est: "Démontrer que pour tout n appartenant aux entiers relatifs, (n-2) divise 2n²+2n-12". On a obtenu 2n²+2n-12=(n-2)*(2n+6) ce que je comprends très bien. Mais je ne comprends comment on a fait pour déterminer (2n+6)?
Merci par avance de votre aide.
Bonjour.
Pour obtenir le 2n², il fallait bien multiplier n par 2n, non ? Même chose avec le -12. Et on vérifie si ça marche.
Autrement dit, on essaie de voir intelligemment ce qui pourrait marcher.
En fait, ici, on est dans un cas particulier de la notion de divisibilité des polynômes. Qu'on étudie en supérieur.
Cordialement.
Disons que la technique, c'est de voir par quoi il faudrait multiplier pour obtenir le terme de plus haut degré.
Donc on calcule
On a donc
On fait alors de même pour, qui est immédiat. On a alors
On regroupe et voila :
Et ça marche pour des polynômes de n'importe quel degré :
Est ce que quelque soit x entier,
Et on recommence avec
Et D est alors le résultat de la division euclidienne de P par Q, et R le reste.
Tu essayera de voir qu'en fait, ce que je t'ai présenté, c'est exactement comme l'algorithme de la division euclidienne pour les entiers.
Note que ceci n'est pas au programme
Sans aller jusqu'à la divisibilité des polynômes, on peut résoudre l'équation du second degré 2n2+2n-12=0 ou plus simplement n2+n-6=0 et la suite est d'une simplicité déconcertante....
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
C'est vrai que de "voir intelligemment ce qui pourrait marcher" se fait très bien finalement.
J'ai résolu l'équation 2n²+2n-12 et j'ai trouvé -3 et 2. Faut-il ensuite multiplier n par 2 et -2 par -3 pour trouver (2n+6)?
Cours de première : Si u et v sont les racines du polynôme ax²+bx+c, alors ax²+bx+c=a(x-u)(x-v).
Les cours d'une année sont à connaître les années suivantes, on ne peut pas tout réinventer.
" Faut-il ensuite multiplier n par 2 et -2 par -3 pour trouver (2n+6)? " Ça c'est de la pensée magique : je fais n'importe quoi avec ce que j'ai pour écrire le bon résultat. Rien à voir avec une activité rationnelle, basée sur des connaissances acquises.
Moralité : Apprends tes leçons au fur et à mesure, pour pouvoir agir ensuite rationnellement. Pour pouvoir faire des maths en appliquant les règles.
Cordialement.
