limite d'une suite récurrente

[bloblo21]

Bonjour,
J'ai deux questions.
la première est de calculer la limite de la suite xn+1 = avec x0=0.
J'arrive à calculer la limite mais je n'arrive pas à montrer par récurrence que 0<xn<4/3, c'est à dire montrer que cette suite est bornée.

la deuxième dans le même style est de calculer la limite de la suite xn+1=
Comme avant j'arrive à calculer la limite de la suite mais j'ai un mal fou à montrer par récurrence que 0<xn+1< xn, ce qui montre que la suite est décroissante est minoré par 0 donc que la suite est convergente. Depuis là on peut utiliser le fait que si la limite existe, elle est solution de f(x) =x.

Cordialement
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[gg0]

Bonjour.

Tu ne pourras pas prouver par récurrence que puisque c'est faux pour x₀. Par contre, comme la preuve par récurrence que est très évidente, rédiges-la, qu'on voie ce que tu as essayé et où tu bloques (si tu bloques, c'est tellement facile !).

Pour ta deuxième suite, comme tu ne donnes pas x₀, difficile de t'aider. A priori, si tu prends x₀=40, x₁ est très supérieur à x₀, ça part mal pour une suite décroissante !

Cordialement.

[bloblo21]

Bonjour,
Déjà pour la deuxième suite x0= 4.
Premièrement la phase d'initialisation est évidente pour la première suite car x0=0 qui est
Ensuite pour l'hérédité on a que xn+1= (xn+4)/4 on sait que par hypothèse donc on voit que xn+1 est de toute façon plus grand que 0 et si on remplace xn par 4/3 on trouve que xn+1 = 4/3 donc .
Donc j'ai montrer par récurrence ce que je voulais, cependant je ne sais pas comment trouver le 4/3 si on nous le donne pas...

Cordialement

[gg0]

Donc tu savais faire ...

sauf que le passage de à est à justifier par un calcul. Ton argument sur la valeur de pour ne dit rien de ce qui peut se passer ailleurs. Comme s'obtient à partir de x en ajoutant 4 puis en divisant par 4, tu peux faire ça à la double inégalité .

" je ne sais pas comment trouver le 4/3 si on nous le donne pas". Oui ! mais il t'a été donné. En fait, on peut le trouver en examinant la courbe de la fonction et celle de la fonction .

Pour le deuxième exercice, tu sais que x_n+1=f(x_n), avec . Cette fonction étant croissante (n'oublie pas de le démontrer), tu peux démontrer par récurrence que x_n+1<x_n. l'initialisation se passe bien puisque x₁<x₀ (x₁=134/39).

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[bloblo21]

Merci beaucoup, tout est plus clair. bonne journée