Le nombre d'or, suites..

[math2]

Bonjour j'ai un exercice à faire et je suis un peu bloquée sur quelques questions, je mets donc l'énoncé en entier( sans le graphique car il n'est pas utile pour la suite des questions).

On considère la suite définie pour tout n entier par un+1=f(Un) u0=1 ; où f est la fonction définie sur R* par f(x)=1+ (1/x)


1)On a tracé la courbe réprésentative de la fonction f ainsi que la droite d'équation y=x dans le repère ci-dessous.
Représentez sur 'axe des abscisses les 4 premiers termes de la suite. FAIT


2) Calculer u1, u2, u3, u4 FAIT

3) Etudier la monotonie de (Un)

4)Montrez que résoudre f(x)=x revient à résoudre x²-x-1=0.
Déterminer les solutions de cette équation ( on appelera phi la solution positive) FAIT


5)Ecrire un algorithme qui calcule la plus petite valeur de n pour laquelle |Un- ((1+V5)/2)| inferieur ou egale à 10 puissance -3
Déterminer cette valeur.


6) Donner une curiosité trouvée sur le nombre d'or


J'ai donc réaliser la quest 1, 2, 4 mais je bloque sur la 3, 5 et 6 car je ne comprend pas reelement la question...


2)
u1=2
u2=1,5
u3=1,666..
u4=1,6

3) ...?

4) x=1+(1/x) donc x-1-(1/x) = 0 donc x²-x-1=0
forme polynome de degré 2 donc delta=5
2racines:
x1= (1-V5)/2
x2= (1+V5)/2

Phi = x2 car positif

5) ...?

6...?

Je ne sais donc pas reelement comment etudier la monotonie ( Un+1 - Un ?)
Pour la 5 je suis tres nulle en algorithme et ne sait donc pas comment faire
La question 6 ne me parait pas tres claire pour moi et je pense avoir besoin de la question 5 pour repondre à la 6


Je vous remercie !
-----

[ansset]

pour la 3, il y a une première réponse qui est de dire qu'elle n'est visiblement ni croissante , ni décroissante.

mais on peut aussi le démontrer, s'il le faut.
par exemple en regardant le signe de U(n+1)-U(n)
donc d'exprimer cette diff en fonction de U(n)

le calcul te donnera que celui ci revient au signe de U(n)+1-U²(n)
(il faut d'abord montrer que U(n)>0)
un autre calcul : U(n+2)-U(n+1) en fonction de U(n) te ramène au signe opposé.
donc la suite à des variations opposées à chaque itération.

je ne suis pas sur que cela soit demandé, mais c'est un bon exercice.

[math2]

D'accord, j'ai compris pour la 3 et je vous remercie pour votre réponse rapide.

Avez vous une idée pour la 5 ? Elle me pose vraiment du soucis ...

[ansset]

j'ai l'impression que la notion d'algorithme te manque.
la valeur à approcher est (1+rac(5))/2
soit donc v=(1+rac(5))/2
l'écart max à atteindre est e=10^(-3)=0,001
le but est trouver n tel que |U(n)-v|<=e
il suffit d'écrire sous forme d'un algorithme que tu calcules
U(n) en fonct du U(n) précedent tant que |U(n)-v|>e

[A voir en vidéo sur Futura]

[math2]

C'est vrai que j'ai du mal avec les algorithmes..

Du coup sur la calculatrice j'ai mis le programme de cette façon mais il y a une erreur et je ne vois pas où elle est malheureusement :

1→U
0→N
While U> 10^(-3)
abs(U-((1+rac5)/2))→U
N+1→N
End
Disp N

Merci encore

[ansset]

While U> 10^(-3)
abs(U-((1+rac5)/2))→U

ben non, tu a "un peu" tout inversé.
c'est
While abs(U-((1+rac5)/2))>10^(-3) ( la diff est trop grande )
U->1+1/U ( on calcule U(n+1) que tu as oublié !!!! )
N+1->N

[math2]

Je vous remercie beaucoup pour votre précieux aide!


Donc pour la 5 la valeur est celle trouvée à la calculatrice

[ansset]

que trouves tu ?

[math2]

Je trouve 0

[ansset]

tu as du mal programmer. tu vois bien que 0 est impossible puisque U(0)=1
fais le sous excel:
le bon résultat est 8.

[Yatsus]

La 3) Il faut effectuer une récurrence, ta suite est croissante sur les termes pairs et décroissante sur les termes impairs. Ainsi tu peux montrer qu'elle converge (minorée par 1 et majorée par 2)

[ansset]

dit comme ça, ça ne suffit pas.

[math2]

Je vois vraiment pas comment vous trouver 8, je trouve 0 tout le temps et j'ai pourtant comme vous me l'aviez donné!!

Merci Yatsu je vois de quoi tu parles !

Pourriez vous m'indiquer plus précisement pour l'algorithme puisque je sèche vraiment ..

[ansset]

je ne sais ce que tu as écrit sur ta machine avec quel langage.
mais 0 est évidemment faux.
le meilleur moyen de vérifier est de le faire sous excel.
case1 :1
en dessous : 1+1/(case1)
à répéter en ctrC,ctrV, pour avoir la suite des Un
à comparer avec (1+rac(5))/2

Yatsus dit faux.
la suite Un=cos(npi) vaut alternativement 1 et -1 , elle est bornée des deux cotés et ne converge pas.

et la question est d'étudier sa monotonie, pas de prouver sa convergence dans cette question.

[math2]

Je vois ...
Seulement je suis en 1ere S et les algorithme nous sont demandé par langage calculatrice et c'est donc ceci qui me pose problème

[ansset]

je ne connais pas le ou les langages calculatrice....

[math2]

Tampis, je vous remercie quand même!

J’espère que d'autres personnes pourront m'indiquer comment est constitué l'algorithme en langage calculatrice alors!!

[ansset]

oui, faute de frappe , ou de syntaxe !? peut être;
si on te retourne 0 , cela veut dire qu'il n'y a aucune itération.
par exemple
as tu bien mis > et pas < dans le while ?
abs est elle la bonne écriture.
N->N+1
U->1+1/U, aussi ?
ou bien dois tu écrire l'inverse pour modifier les valeurs ( injection d'une nelle valeur )
N+1->N
1+1/U->U

[math2]

J'ai donc beau le refaire plusieurs fois c'est tout le temps 0 que je trouve..
Je vous remets mon programme que j'ai en espérant que vous trouverez la faute..

Programme tant que

1→U
0→N
While abs(U-((1+rac5/2))>10^(3)
1+1/U→U
N+1→N
End
Disp N

[ansset]

tu es sur ton écriture
U-((1+rac5/2)) ?
plutôt
U-((1+rac(5)/2))

j'essayerai au cas ou en entrée
(1+rac(5)/2)->E
Disp E

puis dans l'algo , remplacer la valeur par E
While
abs(U-E)>10^(3)

[math2]

ENFIN !
Nous avions simplement oublié de mettre une parenthèse en plus pour que ça soit 1+rac5 qui soit divisé par 2 et non pas que rac5
Je trouve donc 8

[ansset]

Ouf.
( effectivement pour la parenthèse )
tu peux t'amuser à voir pour 10^(-4) pour voir.

[ansset]

reste la 6.
c'est une propriété de la limite des suites convergentes : U(n+1)=F(U(n))

[math2]

propriéte de la limite des suites convergents ??? Je ne crois pas avoir travaillé cela..
C'est la limte ? donc la ou ça "stagne" ? c'est a dire vers 1,5 ..?

[ansset]

non, c'est plutôt 1,618.....
pour la limite quand elle existe , alors elle vérifie l=f(l) donc ici l=1+1/l
ce qui revient à l'équation du second degré.
quand à la propriété il y en a plusieurs, je pense surtout à la plus connue en écrivant autrement l'égalité
l=1+1/l=(l+1)/l
diff de t'indiquer plus sans te donner la réponse.

[ansset]

bon,
suppose un segment de longueur (1+x) constitué de deux segments 1 et x
l'équation plus haut te donne
1/x=x/(1+x)
comment traduis tu cela en terme de proportion pour tes 3 segments ?

[math2]

Oulaa
Je vois pas bien le lien que vous faite avec la question et la fonction ...
On demande une curiosité sur le nombre d'or et je ne vois pas si il faut faire un calcul pour trouver quelque chose de spécial, si il faut lire graphiquement ...