exercice produits scalaires

[hadri1gond]

bonjour à tous et à toutes,

voilà j'ai un DM de maths à rendre pour jeudi, il est composé de deux exercices j'ai réussi le deuxième mais le premier me pose des problèmes
voilà l'énoncé:

ABC est un triangle tel que l'angle A soit aigu. BAE et CAF sont deux triangles rectangles isocèles en A à l'extérieur de ABC.
On note θ = l'angle BAC
b= AC
c=AB

1. Exprimer le produit scalaire des vecteurs AB.AF et AC.AE en fonction de b, c et θ

2. Soit I le milieu de [BC]. Montrer que le vecteur AI= 1/2(vecteur AB + vecteur AC)

3. Montrer que (AI) est la hauteur issue de A dans le triangle AEF.


Pour la 1. j'ai écrit : produit scalaire des vecteurs AB.AF= produit scalaire des vecteurs AB.AC car AEF est un triangle rectangle isocèle et que donc vecteur AF = vecteur AC
puis j'ai calculé à partir du cosinus de l'angle BAC (donc θ) : AC*AB*cos BAC = b*c*cos θ

j'ai fait la même chose pour AC.AE en disant que AE= AB car BAE est un triangle rectangle isocèle et que donc vecteur AE = vecteur AB

2. Je bloque pour cette question, j'ai compris qu'il fallait le faire a partir du théorème de la médiane mais je ne vois pas trop comment...

3. Je ne vois pas vraiment comment on peut démontrer cela sauf peut être en faisant le produit scalaire des vecteurs IA et EF...

Merci infiniment d'avance
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[gg0]

Bonjour.

"car AEF est un triangle rectangle isocèle et que donc vecteur AF = vecteur AC"
Comment des vecteurs qui n'ont pas la même direction pourraient-ils être égaux ???
Ce qui est égal, c'est le longueurs AF et AC. Un vecteur n'est pas une longueur.
Par contre, le produit scalaire est de façon évidente égal à ABxAFxcos(BAF) et le cos s'exprime facilement en fonction de θ.

Pour la 2, calcule vecteur AB + vecteur AC en utilisant I..

Pour la 3, comme il est question de perpendicularité, tu peux calculer un produit scalaire utile.

[hadri1gond]

merci de votre réponse. Je me suis trompé en écrivant j'avais bien écrit sur mon brouillon que c'étaient les longueurs qui étaient égalent et non les vecteurs.

Pour la 2ème question j'ai écrit : (en gras ce sont les vecteurs)

AB+AC= (AC+CB)+(AB+BC)

= AC+2CI+AB+2BI

= 2BC+AC+AB

est ce bien comme ça qu'il faut que je commence car je bloque.
merci encore

[hadri1gond]

j'ai refait mon calcul et je trouve 2AC est-ce juste ??

et pour la 3. le produit scalaire a calculé est-il bien AI.EF ?

merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pourquoi décomposes-tu AB+AC ainsi ? Tu ne lis pas ce qu'on te propose ?
Le calcul est évidemment faux, il n'est pas difficile de voir qu'il dit que BC est nul !!!!

Bon, soit tu fais sérieusement les calculs, et je peux t'aider, soit tu continues à faire n'importe quoi, et tu attendras bien la correction par ton prof.

Pour la 3, est-ce un calcul utile ? Si tu as appris tes leçons, tu es capable de décider seul, tu ne manques pas d'intelligence.

[hadri1gond]

alors comment doit-je décomposer AB+AC je ne vois pas d'autre moyen...

[gg0]

"Pour la 2, calcule vecteur AB + vecteur AC en utilisant I.." (message #2)

Pourquoi décomposer AB avec C et AC avec B ce qui ne sert à rien ??????

[hadri1gond]

d'accord donc il faut que je décompose AB en AI+IB et AC en AI+IC ?

[hadri1gond]

AH je viens de trouver la réponse j'ai fait :
AB+AC= (AI+IB)+(AI+IC)
= 2 AI + IB + IC
= 2AI - 1/2BC + 1/2BC
= 2AI

et donc apres pour AI= 1/2(AB+AC) on remplace AB+AC par 2AI et on retrouve bien AI

[gg0]

Oui, ou en multipliant par 1/2 l'égalité obtenue, on a le résultat.
Ce qui est préférable, parce que obtenir AI=AI ne prouve rien, on n'a besoin d'aucun calcul pour le dire.

[hadri1gond]

d'accord merci beaucoup je continue à travailler sur la question 3.