Vote , sondages et marges d'erreur

[mike.p]

Salut,

Toute ressemblance avec des élections existantes ou ayant existé serait purement fortuite.

Un sondage sorti des urnes est fait avec quelques milliers de vrais bulletins tirés au hasard - sans méthode des quotas - en vue de l'obtention d'une estimation fine, par exemple à moins de 1% près dans 95% des cas.

Il est courant que l'organisme chargé de suivre les votes ( en général le ministère de l'intérieur ) prélève 5.000 à 25.000 bulletins au hasard pour déduire la tendance.

Contrairement aux "sondages" ordinaires, il ne s'agit pas d'intentions mais de votes.

Pour calculer la taille n de l'échantillon nécessaire, dans le cas général, on peut utiliser la formule approchée pour un vote à 2 choix ( sortie d'un logiciel , je ne l'ai pas vérifiée ) :


z , niveau de confiance selon la loi normale centrée réduite
p , indice d'outcome
m marge d'erreur

Prenons z = 2.575 pour un niveau de confiance de 99% , p = 0.5 l'indice d'outcome le plus défavorable et m = 0.01 , une marge d'erreur de 1% :



Pour une marge d'erreur de 0.5 % :



On en déduit vite que pour n = 25000 , la marge d'erreur ( dans ces conditions ) est d'environ 0.8 % et pour n = 20000 , d'environ 0.9 %. Elle passe à 1.8% pour n = 5000.

Là, les modèles permettant de recoller un sondage avec des tables établies afin de pondérer les bulletins échantillonnés sont ignorés. On peut faire mieux avec 20000 données.


Quelle est l'intervalle de confiance d'un sondage sorti des urnes de 20.000 données avec une marge d'erreur de 4% ( pour un vote à 2 choix par un grand corps électoral ) ?

n = 20000
m = 0.04
est la fonction de la page wiki à la rubrique "Approximation de la fonction de répartition"



ce qui montre les limites de la formule plus haut.

La question que je me pose est toujours :
Quelle est la probabilité de se tromper avec 20.000 données et une marge d'erreur de 1% ( pour un vote à 2 choix par un grand corps électoral ) ?

Pourriez vous avp m'indiquer une formule moins approximative avec quelques justifications de cours ou de publication ou bien avec une signature qui fait autorité ?

merci !

( merci de me signaler toute erreur de calcul )
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[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai une petite idée de la justification de cette méthode de calcul, mais je ne dirai pas en public puisqu'elle est basée sur un argument faux.
Par contre, je suis persuadé que la méthode adoptée réellement serait plutôt celle là
1- on sélectionne un certain nombre de bureaux de vote, éventuellement en fonction de l'expérience que l'on a d'élections précédentes.
2- pour chacun de ces bureaux, on compte le nombre de bulletins pour chaque option.
3- on reporte, ou on calcule la répartition de ces résultats, éventuellement pondérés.
4- on en déduit directement la répartition des écarts, d'où l'intervalle de confiance.

Cela me rappelle Lapalisse qui disait : "Si une erreur était connue, ce ne serait plus une erreur." Authentique et il s'y connaissait en la matière. Cette phrase m'a longtemps tracassée, je ne comprenais pas à quoi il faisait allusion. Maintenant, j'ai compris.

[mike.p]

oui , c'est une méthode avec références mais elle ne relève pas de ce calcul ; je propose explicitement de le considérer comme une borne alors que nous savons qu'il y a mieux. ok ?

Alors comment calculer les chances de se tromper ?

Ce n'est pas une énigme , mais un exercice avec application possible à l'actualité à chaque référendum ; histoire de retenir quelques bornes et de ne pas se laisser raconter des histoires , sans pour autant devenir un expert ...

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Il est un peu surprenant qu'il n'y ait pas de réponse. Cette question est dans le cadre général de l'intervalle de confiance qui a fait l'objet de nombreuses questions et réponses depuis quelques temps, et sur différents forums de math. Généralement les sujets étaient ouverts pas des enseignants et les réponses, naturellement par des enseignants compétents en la matière.
Bonne chance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mike.p]

Bonjour,

mes fils ont rarement du succès sur FS

A l'origine , ce devait être une mise en bouche pour poser une question qui sans cela, aurait necéssité une contextualisation un peu trop longue.

[Victzz]

Salut,

Il n'y a pas d'erreur avec la formule que tu utilises au début mike.p, le "z" dans l'égalité correspond au quantile de la loi normale centrée réduite : P(X <= z) = .
On retrouve bien z = 2,575 (approximativement) pour un niveau de confiance de ( ; z = q(0,995)).

Plus bas quand tu écris z = phi(z') , en fait ici z=z' dans ton calcul, donc effectivement tu obtiens une valeur de phi plus grande que 1 (si tu as gardé z = 2,575).

Ce qu'il faut voir c'est qu'il y'a 3 grandeurs qu'ils sont liées :
- n : effectif de l'échantillon
- m : la marge d'erreur, qui correspond à la largeur de ton intervalle de confiance
- : le "risque" que la vrai proportion de votant pour Bob n'appartienne pas à l'intervalle de confiance.

En gros on a un intervalle de confiance de la forme (p - m ; p + m) , où p est la proportion de votant pour Bob qu'on obtient de façon empirique (par exemple on va prendre 52% pour Bob). appartient à l'intervalle avec un niveau de confiance de .

Ta question revient à trouver pour n = 20000 et m = 0,01.
Pour ça on résout l'équation = (rappel : z = dans la formule),
soit = f() ,où f est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
soit = 2(1-f()).

On trouve environ égal à 0,4%.
Donc si on interroge 20 000 personnes et qu'on trouve 52% de votant pour Bob, on peut dire que appartient à l'intervalle (0,51 ; 0,53) avec un risque de se tromper de 0,4% ( ou : appartient à l'intervalle avec un niveau de confiance de 99,6%)

J'espère que j'ai pu t'aider, n'hesite pas si tu as des questions ! =)
(je vais améliorer mon message plus tard, pour l'instant latex et moi ça fait deux )

[Victzz]

Je précise deux points par rapport à mon message au dessus (je n'arrive plus à le modifier) : c'est "" (j'ai oublié les parenthèses), et dans la résolution de l'équation j'utilise le fait que p(1-p) <= 1/4 pour tout p appartenant à l'intervalle (0;1).

[mike.p]

J'espère que j'ai pu t'aider, n'hesite pas si tu as des questions ! =)

Bonjour,

oui, vraiment, ça éclaircit le paysage. Merci beaucoup !

[mike.p]

voilà ce que c'est de s'embarquer avec des formules sans chercher à les comprendre. Merci encore ...