Polygone régulier, cercle inscriptible et angles au centre

[invite949a348a]

Bonjour,

J'aurais aimé connaître les démonstrations :
1) de la propriété " Un polygone régulier est inscriptible dans un cercle"
2) de la propriété "Tous les angles au centre d'un polygone régulier sont égaux" (pas du fait que chaque angle au centre mesure 360/nombre de côtés du polygone régulier, le fait qu'ils soient égaux "

Merci !
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[invite949a348a]

1)J'ai trouvé ça (ici : http://www.ckoegler.org/IMG/pdf/Angl...re_guliers.pdf). Seul le truc en gras me pose problème : comment sait-on qu'une médiatrice de [AC] est (OB) ? (D'ailleurs, on dit "une" ou "la" médiatrice : parce que si je prends plein de droites confondues entre elles, dont l'une est "la" médiatrice, les autres le sont aussi!)


Soit ABCDEFG…. un polygone régulier
Appelons O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, (OA = OB = OC)
Le but est de montrer que D est sur ce cercle quand on l’aura montré pour D, ce sera vrai pour
tout autre sommet (peu importe leur nombre)
D’après la définition du polygone régulier, ABC = BCD = α et AB = AC
donc ABC est isocèle en B
donc la médiatrice (OB) de [AC] est également la bissectrice de l’angle ABC = α
O, centre du cercle circonscrit à ABC est sur la médiatrice de [BC] donc OBC isocèle en O
donc BCO = OBC = α
2 or BCD = BCO + OCD = α donc BCO = OCD = α
2
Donc (OC) est la bissectrice de BCD
Or BCD isocèle en C, donc (OC) la bissectrice de BCD est médiatrice de [BD],
donc OB = OD donc D est sur le cercle de centre O, de rayon OC= OB=OA

2)Pour celle-ci, si je réussissais à montrer que je peux décomposer un polygone régulier en n triangles égaux, je serai convaincu que les angles au centre sont les mêmes...

[Kairn]

1)J'ai trouvé ça (ici : http://www.ckoegler.org/IMG/pdf/Angl...re_guliers.pdf). Seul le truc en gras me pose problème : comment sait-on qu'une médiatrice de [AC] est (OB) ? (D'ailleurs, on dit "une" ou "la" médiatrice : parce que si je prends plein de droites confondues entre elles, dont l'une est "la" médiatrice, les autres le sont aussi!)

Parce que le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de concours des médiatrices des côtés du triangle (voir juste après) : la médiatrice de [AC] passe par O. Comme elle passe aussi par B (triangle isocèle), c'est (OB).

Notons O le point d'intersection des médiatrices de [AB] et [AC] : OA=OB et OA=OC par définition de la médiatrice, donc OB=OC, c'est-à-dire que O est sur la médiatrice de [BC]. O est donc équidistant de A, B et C : il est au centre d'un cercle passant par ces trois points : le cercle circonscrit.

Par ailleurs, pour le vocabulaire, je pense qu'il faudrait dire la médiatrice, parce que justement des droites confondues sont justement une seule droite : il y a unicité de la médiatrice.

2)Pour celle-ci, si je réussissais à montrer que je peux décomposer un polygone régulier en n triangles égaux, je serai convaincu que les angles au centre sont les mêmes...

Eh bien, découpe !
Tu sais que les triangle OAB et OBC sont isocèles en O par définition de O. Tu veux montrer que leurs angles aux sommets et sont égaux ; cela revient à montrer que les angles à la base le sont. Tu utilises le fait que (OB) est la bissectrice de , ce qui te donnes , et là je pense qu'on est pas loin du résultat.