Limite de (ln(x)^n)/x

[rrricharddd]

Bonjour,

Je souhaite calculer la limite de lorsque tend vers mais je n'y arrive pas.
Par représentation sur Géogébra j'en ai déduit que peut importe la limite est toujours .
Mais je n'arrive pas à le démontrer.

J'avais pensé à faire:

donc lorsque tends vers on aurait

Et il viendrait:




Mais je ne pense pas que ce soit juste de raisonner de cette manière surtout que ça mène à une contradiction:

alors que puisque la fonction tends vers en

Quoi que cela peut être vrai puisque est un nombre (donc une constante ?), enfin je crois ..

Voilà je suis un peu perdu

Merci d'avance pour votre aide
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[danyvio]

Dans la demande initiale, quelle est la variable ? x ou n ?
Ensuite si tu dis à ton prof que est un nombre il va te tirer les oreilles

[invite75014153]

Hello, une petite astuce : pratiquement chaque fois qu'une puissance intervient l'astuce consiste à mettre la fonction dont on cherche la limite sous forme exponentielle. L'argument de l'exponentielle est généralement une fonction beaucoup plus sympathique.
Ici par exemple une dérivation suivi d'une étude du signe de la dérivée (sachant ln croissante retournant une image dans [-infini ; +infini]) permet de conclure !

[rrricharddd]

Dans la demande initiale, quelle est la variable ? x ou n ?

Dans la demande initiale je demande la limite quand tend vers avec quelconque. Je crois pourtant l'avoir précisé, ou peut-être ai-je mal compris votre question ?

Ensuite si tu dis à ton prof que est un nombre il va te tirer les oreilles

Oui aha je savais que je disais sans doute une bêtise mais pour moi la notation reste flou, en cours on nous l'a jamais défini rigoureusement.
Par curiosité je suis tombé sur une vidéo ou il était dit que l'infini était défini par le cardinal de l'ensemble des entiers naturels.
Le cardinal étant le nombre d'élément d'un ensemble (arrêtez moi si je me trompe) je me suis dit que par définition l'infini était un nombre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Un petit changement de variable, assez simple vous ramène à la limite de ln(x) / x qui est censé être connue

[Médiat]

Le cardinal étant le nombre d'élément d'un ensemble (arrêtez moi si je me trompe) je me suis dit que par définition l'infini était un nombre.

Et oui, je suis content de lire cela, car cela me conforte que dire "Le cardinal étant le nombre d'élément d'un ensemble " est une erreur, c'est exactement le contraire : "Le nombre d'élément d'un ensemble est, par définition, son cardinal".

Un cardinal peut parfaitement être considéré comme un nombre, mais en aucun cas ce n'est "l'infini" ; ici, il s'agit du plus petit cardinal infini, on le note

[ansset]

@richard:
plusieurs chgt de variables sont possibles.
par exemple x=e(y).

[rrricharddd]

"Le nombre d'élément d'un ensemble est, par définition, son cardinal".

Comment alors définir le cardinal ?



Sinon pour le changement de variable j'ai trouvé cette methode:



On pose

Il vient:



Puis on peut conclure.

Cela est-il correct ? Y a t-il un autre changement de variable à envisager ?

Pour l'utilisation de la forme exponentielle j'ai pas encore trouvé mais j'y travaille

[Médiat]

Comment alors définir le cardinal ?

Comme une classe d'équivalence d'ensembles tels qu'il existe une bijection entre eux, cette bijection "dit" que les ensembles ont le même cardinal.

Y a t-il un autre changement de variable à envisager ?

C'est à celui-là que je pensais

[rrricharddd]

Comme une classe d'équivalence d'ensembles tels qu'il existe une bijection entre eux, cette bijection "dit" que les ensembles ont le même cardinal.

Là ça dépasse mes connaissances je verrai sans doute cela l'année qui arrive en mpsi


Merci à tous pour vos réponses !

Je trouve quand même ça dingue de bloquer toute une après midi sur une démonstration essayer un tas de chose puis de trouver quasiment instantanément une solution juste parce que quelqu'un de plus expérimenté nous indique une voie à prendre alors qu'on avait déjà essayer cette même voie sans succès auparavant.

[QueNenni]

Pas si vite !
Il y a deux cas à considérer : n<1 et n>1

[ansset]

bjr,
je suppose ( mais c'est non dit ) que n app N* .

[rrricharddd]

Oui effectivement c'est n dans N*, mais je ne comprends pas pourquoi il faut considérer ces deux cas

[Médiat]

Bonjour,

En fait la limite est calculable pour tout n dans IR et on trouve la même chose (sauf si j'ai raté une marche), mais la démonstration n'est pas la même pour n > 0 et n <= 0 (plus facile d'ailleurs)

[ansset]

pour n=0 ???

[Médiat]

Où est le problème ?

[QueNenni]

OK c'est bon, quel que soit n : X tend vers l'infini avec x

[ansset]

aucun pb, sinon de vue .

[rrricharddd]

Mais je ne comprends pas ce qui dois changer dans la démonstration.


De plus faut-il considérer les cas n<1 et n>1 ou bien les cas n<0 et n>0 ?

Il y a deux cas à considérer : n<1 et n>1

Bonjour,

la démonstration n'est pas la même pour n > 0 et n <= 0

[Kairn]

Salut !

Tu peux distinguer n>0 et n<=0.

Le premier cas, tu l'as fait ; et pour le second, tu n'as pas besoin de faire un changement de variable :
avec . Normalement, obtenir la limite en de cette chose n'est pas trop compliqué .

[QueNenni]

Salut kairn, je vous invite à relire l'énoncé du message #1, car dans celui ci c'est ln(x) qui est à la puissance n et non pas simplement x.

[ansset]

mais c'est bien ce qu'écrit Kairn.