déterminer la poistion de P et Q de sorte que l'aire que l'aire du triangle PQH soit huit fois plus

[trayas]

Bonsoir

pouvez vous m'aidez pour cet exercice sur lequel je bloque depuis plusieurs jours

on considère le triangle ABC isocèle en A tel que AB = AC =10
on note H le pied de la hauteur issue de A et on a AH = 8
soient P et Q deux points respectivement sur [AB] et [ AC] tel que
AP = AQ = x appartient à [0;10]
le but de cet exercice est de determiner la position de P et Q de sorte que l'aire du triangle PQH soit huit fois plus petite que celle de ABC
1) montrer que (PQ) // (BC)
2) en déduire PQ en fonction de x
3) soit I le milieu de PQ
- montrer que I appartient à [AH]
- calculer AI en fonction de x

pour démontrer que PQ // BC
on appelle configuration de Thalès une figure tel que :
ABC et APQ sont 2 triangles
P appartient à [AB]
Q appartient à [AC]
d'après l'énoncé je sais que ABC est un triangle
on ne me dit pas que APQ est un triangle
on me dit seulement que les points P et Q sont respectivement des points de [AB] et [AC]``
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[zenxbear]

?

APQ est forcément un triangle. il a 3 sommets.

[trayas]

bonjour

on a une configuration de Thales si on a une figure tel que ABC et APQ sont 2 triangles
ces triangles ont leur cote proportionnelles
AB = AC = PQ
AP AQ BC
on me dit bien dans l'énoncé que AB = AC et que AP = AQ = x

donc si on a deux triangles et si les cotes sont proportionnelles alors les 2 bases sont parallèles

est ce que je peux écrire cela au niveau de la rédaction

[zenxbear]

t'es allé trops vite dans la lecture de Thalès et sa réciproque.

Thalès est une situation particulière ou on identifie 2 triangles semblables. 2 triangles sont semblables si ils ont la mêmes forme. En gros ils ont les mêmes angles.
Si un triangle est une dilatation d'un autre, alors ces cotés sont agrandis par un certain facteur r. La dilatation ne change pas les angles du coup les triangles sont semblables.
Inversement, si les triangles sont semblables, alors l'un est dilatation de l'autre, donc on a un rapport r entre les longueur des cotés.

Ainsi, sur ton dessin.

Quand PQ // BC . Alors les angles des triangles ABC et APQ correspondent. par exemple . idem pour le reste. Donc ils sont semblables. Donc le triangle ABC est une dilatation de APQ. Et donc j'ai
Ceci est rédigé sous le bandeau "Thalès", comme tu viens de faire. (et on ne parle pas de triangles semblables et dilatation, mais c'est caché)

Inversement.
C'est juste que si je vérifie ,
alors APQ est dilatation de ABC
donc APQ est semblables à ABC
donc les angles sont les mêmes.
donc
donc PQ // BC

Ca c'est une configuration C-C-C (coté-Coté-Coté). En gors on a identifié que 2 triangles sont semblables si les rapports des cotés sont les mêmes...

MAIS la réciproque de Thalès de ton cours ne nécessite PAS le rapport des 3 cotés.

En effet, les triangles APQ et ABC partagent un même angle au sommet A.
Donc Il suffit de vérifier que
On est dans une configuration C-A-C (Coté-Angle-Coté) ou 2 cotés ont été dilatés, et l'angle au milieu est conservé.
Ceci suffit pour dire que APQ est dilatation de ABC.
Donc ils sont semblables.
donc les angles sont les mêmes.
donc
donc PQ // BC

Ceci est la réciproque de Thalès. Il suffit de vérifier que 2 des rapports sont les mêmes.
ou ou , pour conclure (vu que j'ai le même angle au sommet A pour les 2 triangles)
qu'ils sont dilatation l'un de l'autre, et que
et que PQ//BC.

BREF: cette phrase est imprécise

donc si on a deux triangles et si les cotes sont proportionnelles alors les 2 bases sont parallèles

Dans une configuration de Thalès, si tu vérifies que 2 des cotés sont proportionnels à 2 autres du triangles.
Par la réciproque de Thalès, PQ//BC. Et le troisième coté suit la même règle de proportionnalité.

PS: Ne lis pas ton cours en diagonale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[trayas]

bonsoir
merci de m'avoir répondu

pour démontrer que (PQ) // (BC)

dans l'énoncé on précise que AP = AQ = x
donc je peux utiliser la valeur x soit pour AP soit pour AQ

on nous dit que le triangle ABC isocèle en A tel que AB = AC = 10
donc meme chose à part que je remplace par la valeur 10

donc AQ/ AC = x / 10

et AP / AB = x / 10

en me servant de ces doubles égalités je peux dire que
AQ / AC = AP /AB

mais je n'arrive pas à démontrer que BC // PQ
pouvez vous m'aider??

[zenxbear]

si tu veux pas me lire.
Va relire ton cours sur la réciproque de Thalès!

[zenxbear]

Il y a line boulette Dan's ma redaction de la reciprocate. Strike AP/AB=AQ/AC est suffisante pour avoir pq//BC. Les 2 litres be suffisent pas.

[trayas]

Bonsoir ZEN X BEAR

merci beaucoup pour votre cours (j'imagine que vous devez être enseignant)
j'ai lu ce que vous m'avez écrit
j'ai vu que vous avez passé du temps pour tout rédiger et je suis très reconnaissant

par contre dans la question suivante on me demande
b) en déduire PQ en fonction de x

donc comme dans l'énoncé on me dit AP = AQ = x
et AB = AC = 10
j'ai pensé faire ceci
PQ/ AB = x / 10
AQ / AC = x /10

donc PQ / AB = AQ / AC
(PQ) // (BC)


puis en déduire PQ en fonction de x
AP / AB = AQ/AC = PQ/ BC
AP/AB = x/10

je peux dire que BC = 2 BH

puis avec le théorème de Phytagore je peux en déduire la longueur de BH
si j'ai un triangle AHB
AH^2 + HB^2 = AB^2
8^2 + HB^2 = 10^2
64 + HB ^2 = 100
HB^2 = 100 - 64 = 36 ou encore BH = 6 ou encore BC = 2*6 = 12

[zenxbear]

exact. D'ailleurs tu peux te souvenir du théorème des milieux.
"Si I est le milieu de AB. J milieu de AC. Alors IJ//BC et IJ/BC= 1/2."

Pour appliquer la réciproque de Thalès dans ce cas, on a juste vérifié AI/AB=AJ/AC=1/2. Ce qui nous donne que IJ//BC
Et comme IJ//BC, par Thalès, j'ai AI/AB=AJ/AC=IJ/BC=1/2

Ton exo, suit le même raisonnement. mais au lieu de 1/2, c'est x/10.