Dm de Congruences

[Pouckti]

Bonjour,
Je suis en Terminale S et j'ai ce DM à faire :

On considère l'équation (E) : 6x²-5y²=7 dont les inconnues x et y sont des entiers relatifs.
1. Montrer que si un couple (x;y) est solution de (E) alors x² (congru à) 2 [5].
2. Pour tout entier relatif a, quels sont les restes possibles de la division euclidienne de a² par 5 ?
3. Quel est l'ensemble des solutions de l'équation (E) ?

Je ne comprends pas très bien comment je peux répondre à la question 1. sachant que x est un entier et que d'après la congruence x²=5*q+2
Autrement dit x² = 7 ou 12 ou 17... Sauf que ceux-ci n'ont pas pour racine un nombre entier.

Merci d'avance
-----

[Médiat]

Bonjour,

Ce que vous devez démontrer, c'est 6x²-5y²=7 ==> x² (congru à) 2 [5], cela ne sous-entend rien sur l'existence de x (les questions suivantes répondent à cette question)

[Pouckti]

Merci de votre réponse.

Mais comment est-ce que je peux étudier les solutions de cette équation ?
Je n'ai vu aucune équation de ce type ni dans mon cours, mes exercices et même mon livre.
Il n'y a pas d'identité remarquable ni de facteur commun, je suis bloqué...

[PlaneteF]

Bonjour,

Mais comment est-ce que je peux étudier les solutions de cette équation ?

En répondant aux questions de l'énoncé une à une.

Je n'ai vu aucune équation de ce type ni dans mon cours, mes exercices et même mon livre.

C'est bien pour cela que l'énoncé ne te lâche pas seul dans la nature avec cette équation et te guide au travers de 2 questions préalables.

(...) je suis bloqué...

Du coup non --> Cf. ce que je viens de dire.


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Pouckti]

Merci mais je ne comprends toujours pas comment répondre à la question une...

[PlaneteF]

Soit un couple d'entiers relatifs. Supposons que ce couple soit solution de l'équation . Tu remarqueras que quand j'écris cela je ne dis pas qu'il y a des solutions, à ce stade je n'en sais rien, je ne fais qu'une supposition.

Donc dans ce cas on a ou encore

Maintenant à quoi est congru (donc ) modulo ?


Cdt

[Pouckti]

Merci beaucoup.
Je pense avoir trouvé du coup.
1)
6x²-5y²=7 => 6x²=5y²+7
x² (congru à) 2 [5]
6x² (congru à) 12 [5] donc (congru à) 2 [5]
=> 5y²+7 (congru à) 2 [5] => 5y² (congru à) -5 [5] => 5y² (congru à) 0 [5].

2)
a (congru à) ... [5] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
a²(congru à) ... [5]| 0 | 1 | 4 | 4 | 1 |
=> Le reste est égal à 0 , 1 ou 4

3)
6x²-5y²=7 => 5y² = 6x² -7 => y² = (6x²-7)/5 => y = Racine((6x²-7)/5) ou y = - Racine((6x²-7)/5)

[PlaneteF]

1)
6x²-5y²=7 => 6x²=5y²+7
x² (congru à) 2 [5]
6x² (congru à) 12 [5] donc (congru à) 2 [5]
=> 5y²+7 (congru à) 2 [5] => 5y² (congru à) -5 [5] => 5y² (congru à) 0 [5].

Qu'est-ce que c'est que ce charabia ?? ... On te demande de montrer que , ... donc tu montres que

2)
a (congru à) ... [5] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
a²(congru à) ... [5]| 0 | 1 | 4 | 4 | 1 |
=> Le reste est égal à 0 , 1 ou 4

OK.

3)
6x²-5y²=7 => 5y² = 6x² -7 => y² = (6x²-7)/5 => y = Racine((6x²-7)/5) ou y = - Racine((6x²-7)/5)

Non, tu n'y es pas du tout, je te rappelle que l'on travaille dans . Il faut utiliser les 2 résultats précédents.


Cdt

[Pouckti]

Qu'est-ce que c'est que ce charabia ?? ... On te demande de montrer que , ... donc tu montres que

Je suis en train de montrer que 5y² a un reste égal à 0 dans la division euclidienne par 5 et que 6x² a un reste égal à 2 dans la division euclidienne par 5

Donc on retrouvera toujours soit un résultat de type 17 = 5*3 + 2 ou 7 = 5*1 +2 soit de type 12=5*2 + 2 ou 32 = 5*6 + 2

[PlaneteF]

Le problème c'est que tu écris les choses à l'envers, on ne sait pas ce que tu supposes, ni ce que tu veux démonter, du moins de manière lisible, ... c'est bien gentil de mettre des => mais encore faut-il les employer à bon escient.

On a de manière triviale et

On en déduit donc ou ce qui revient au même

Maintenant à partir de , il faut en déduire , ... chose que tu n'as pas fait !


Cdt

[Pouckti]

5y² (congru à) 0 [5] avec 7 (congru à) 2 [5]
donc 5y² + 7 (congru à) 2 [5]
On sait que 5y² + 7 = 6x²
Donc 6x² (congru à) 2 [5]
5x² + x² (congru à) 2 [5]
avec (de même manière que 5y²) 5x² (congru à) 0 [5]
et x² (congru à) 2[5].

Merci de ton aide

[Pedant]

Passage rapide , peut être que : décomposer 6x² pourrait t'aider à déduire ce qu'il faut déduire...

Edit : oui voila bien joué

[PlaneteF]

Remarque :

On peut aller plus vite en écrivant tout simplement :

ce qui donne immédiatement


Maintenant les résultats des 2 premières questions permettent de donner l'ensemble des solutions de l'équation


Cdt

[Pouckti]

Si x² (congru à) 1 [5]
6*1-5y²=7
5y²= -1 impossible car 5y² > 0

Si x² (congru à) 2 [5]
6*2-5y² = 7
-5y² = -5
y=1

Si x² (congru à) 4 [5]
6*4-5y²=7
-5y²= -17
y² = -17/-5 impossible y appartient à Z

[PlaneteF]

Si x² (congru à) 1 [5]
6*1-5y²=7
5y²= -1 impossible car 5y² > 0

Si x² (congru à) 2 [5]
6*2-5y² = 7
-5y² = -5
y=1

Si x² (congru à) 4 [5]
6*4-5y²=7
-5y²= -17
y² = -17/-5 impossible y appartient à Z

Non, attention, tous tes raisonnements sont complétement faux.

Par exemple si cela ne veut pas forcément dire que . Il peut valoir , , , , .. etc

Cdt

[Pouckti]

Oui mais dans tous les cas que ça ne sera pas solution pour un reste de 1 ou 4. Il faut le préciser mais oui j'avais compris ça. Merci quand meme.

[PlaneteF]

Oui mais dans tous les cas que ça ne sera pas solution pour un reste de 1 ou 4. Il faut le préciser mais oui j'avais compris ça. Merci quand meme.

Et quelle est ta justification ? ... Au final quel est l'ensemble des solutions de l'équation (E) ?

Cdt

[Pouckti]

Je n'y arrive pas...

[PlaneteF]

Est-ce que tu es d'accord que le résultat de la question 1) et celui de la question 2) sont contradictoires ?

Cdt

[Pouckti]

Effectivement. Mais comment est-ce que je le corrige ?

Il faut que je parte de la congruence de a² pour arriver à celle de 6a² ?

[PlaneteF]

Effectivement. Mais comment est-ce que je le corrige ?

Mais tu veux corriger quoi ... Il n'y a rien à corriger, juste à faire un raisonnement (en l'occurrence un raisonnement par l'absurde) qui utilise ces 2 résultats contradictoires afin de déterminer l'ensemble des solutions.

Cdt

[Pouckti]

Je ne comprends pas comment arriver à la solution alors que j'ai deux résultats contradictoires...

Et pourquoi un raisonnement par l'absurde...
Quand je regarde le tableau des deux congruences a et a² je vois que a² n'est pas congru à 2 et donc ce n'est pas normal car c'est ce qu'on attend...

[PlaneteF]

Par l'absurde, supposons qu'il existe un couple d'entiers relatifs solution de l'équation .

D'après la question 1) on en déduit que

Or d'après la question 2), dans un carré ne peut être congru modulo , qu'à , ou .

Absurde !

Conclusion ...

[Pouckti]

... Il n'y a pas de solution ?

[PlaneteF]

L'ensemble des solutions est donc

Voili, voilou

[Pouckti]

D'accord... Bon... C'était long et tortueux... merci beaucoup

[Pedant]

X et y sont supposés appartenir à l'ensemble A
Or d'après question 2 , x² ne peut pas être congru à 2 modulo 5 si x appartient à Z

[Pedant]

L'ensemble A = Ensemble Z , je me suis trompé de lettre

[PlaneteF]

D'accord... Bon... C'était long et tortueux... merci beaucoup

Reprend cet exercice à tête reposée et avec un peu de recul je pense que tu diras : "Cet exercice était très rapide et particulièrement simple."

Cdt

[Pedant]

J'ai une question , qu'elle est l'ensemble dans lequel l'équation à des solutions ?
Comment le prouver ?